¿ Está trucada la moneda ?

Enunciado:
Al lanzar una moneda $100$ veces, observamos que aparecen $45$ caras ( y $55$ cruces ). Con un nivel de confianza del $95\,\%$, ¿ se podría decir que la moneda está trucada ?.

Resolución:
Vamos a dar una respuesta a la pregunta construyendo el intervalo de confianza para la estimación de la proporción teórica de caras. Si la moneda no está trucada, dicho valor debería ser del $50\,\%$, ( es decir, la probabilidad de obtener cara en un lanzamiento de la moneda no trucada debe ser igual a $0'5$ ); pues bien, si dicho valor, se sitúa dentro del intervalo no podremos afirmar que la moneda esté trucada ( al nivel de confianza pedido ).

Identificamos la distribución de Bernoulli para las $n$ variables aleatorias del muestreo ( una por cada lanzamiento )
    $X_i \sim B(1,p) \;\; i=1,2,\ldots,n$
por tanto sabemos que el estimador $\hat{p}$ de la proporción de la población, $p$, es una variable aleatoria con distribución
    $\hat{p} \sim N\big(p, \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}\big)$

Entonces el intervalo de confianza es
    $I_{1-\alpha}(p)=\bigg(\hat{p}-z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\,,\,\hat{p}+z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\bigg)$
donde, ahora, $\hat{p}$ representa el valor observado de la proporción ( en la muestra ), esto es
    $\hat{p}=\dfrac{45}{100} = 0'45$
y, como es habitual, de las tablas $Z \sim N(0,1)$, se obtiene
$z_{\alpha / 2} = z_{0'05 / 2} = z_{0'025} \underset{tablas}{= } 1'96$

Teniendo en cuenta que $n=100$ ( tamaño de la muestra ), sustituyendo estos datos en la expresión del intervalo obtenemos
    $I_{0'95}(p)=\bigg( 0'45 - 1'96 \cdot \sqrt{\dfrac{0'45 \cdot 0'55}{100}}\,,\,0'45 + 1'96 \cdot \sqrt{\dfrac{0'45 \cdot 0'55}{100}}\bigg)$
                  $=\big( 0'35\,,\,0'55 \big)$

Entonces, como
    $p_{no \; trucada}=0'5 \in I_{0'95}(p)$
concluimos que, con un coeficiente de confianza del $95\,\%$, no podemos afirmar que la moneda esté trucada.

Nota:     En el próximo tema ( Contraste de Hipótesis ) trataremos este tipo de problemas de una manera más eficaz y formal.

$\square$

[nota del autor]