Tasas de variación y números índice

Enunciado:
En el periodo de un año, la tasa de crecimiento, $\alpha$, de una población ha sido del $5\,\%$. La población inicial estaba formada por $1000$ individuos. Se pide:
  (a) El valor de la población final ( al final del año )
  (b) El valor del índice de crecimiento anual, $\beta$, con base igual a $100$

Solución:

  (a)
La tasa de crecimiento, $\alpha$, en un determinado periodo $T$ se define como
    $\alpha=\dfrac{P_f-P_i}{P_i}$
donde $P_i$ es la población inicial ( en número de individuos), $P_f$ denota la población final y $T$ el periodo ( en el caso que nos ocupa es de un año), por tanto,
    $-1 \le \alpha \le 1$

Nota: Una tasa de variación positiva corresponde a un aumento de la población; un valor negativo de la tasa indica un descenso de la población, y un valor nulo corresponde a una situación en la que la población se mantiene constante.

Entonces,
    $\dfrac{P_f-1000}{1000}=0,05$

y, despejando $P_f$

    $P_f=1\,050 \; \text{individuos}$

  (b)
El índice de crecimiento, $\beta$, en un determinado periodo $T$ - recordemos que en nuestro caso es de $1$ año -, viene a representar la población final relativa a un base ( inicial ) dada.

Es decir, para un valor de referencia arbitrario ( convenido ) para la población inicial de referencia que denominamos base y que, en este problema, se nos dice que tomemos el valor $100$ para la misma, se define el índice de crecimiento, $\beta$, como la cantidad proporcional que correspondería a la población final. Así, el valor de un número índice será mayor que $1$ si la población final es mayor que la inicial; menor que uno, en el caso que la población final sea menor que la inicial, e igual a uno, si la población se mantiene constante.

Por tanto, si en un principio había $1000 \;\text{individuos}$, asignando el valor base $100$ a esta cantidad, calculamos el valor del índice de crecimiento, $\beta$, mediante una simple proporción:
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$
és a dir
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{1050}{1000} \Rightarrow \beta=105$

Observación (relación explícita entre el valor de la tasa de variación y el valor del número índice): De $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$ se tiene que $\beta=\dfrac{P_f}{P_i}\cdot 100$ y teniendo en cuenta que $P_f=\alpha\,P_i + P_i$ podemos escribir que $\beta=\dfrac{\alpha\,P_i+P_i}{P_i}\cdot 100$ con lo cual $\beta=(\alpha+1)\cdot 100$, luego $\alpha=\dfrac{\beta}{100}-1$. En general, si en lugar de tomar como valor de base $100$ tomamos otro valor arbitrario, $b$, se tiene que $\alpha=\dfrac{\beta}{b}-1$.
En el ejemplo, comprobamos que así es: siendo el valor del índice $105$, entonces, $\dfrac{105}{100}-1=0,05$, que corresponde al valor de la tasa de variación.

Nota:   Los números índice se utilizan muy a menudo en Estadística. Son de gran utilidad en Economía; un ejemplo de número índice es el IPC.

Nota:   Tal y como ya se pone de manifiesto en este problema, no debemos confundir el concepto de número índice con el de tasa de variación, a pesar de que ambas nociones hagan referencia a una idea similar. Debemos destacar también otra diferencia importante entre un número índice y una tasa de variación: de acuerdo con la definición, si la base es positiva, un número índice no puede tomar un valor negativo; sin embargo, sí puede tomar un valor negativo una tasa de variación, cuando la población final es menor que la inicial.

$\diamond$