Ejercicio de cálculo con la distribución normal

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu=2$ y desviación típica $\sigma=4$, lo cual denotamos por $X \sim N(2,4)$. Se pide:
    $P\{ \left|2-X\right| \le 4\}$

Resolución:

  $P\{ \left|2-X\right| \le 4\}=$
                                $= P\{ -4 \le 2-X \le 4\}$
                                $=P\{ -4 -2 \le 2-X -2 \le 4 -2 \}$
                                $=P\{ -6 \le -X \le 2 \}$
                                $=P\{ 6 \ge X \ge -2 \}$
                                $=P\{ -2 \le X \le 6 \}$
                                $=P\{ X \le 6 \}-P\{ X \le -2 \}$
                                $\underset{(1)}{=} P\{ Z \le \dfrac{6-2}{4} \}-P\{ Z \le \dfrac{-2-2}{4} \}$
                                $= P\{ Z \le 1 \}-P\{ Z \le -1 \}$
                                $= P\{ Z \le 1 \}-P\{ Z \ge 1 \}$
                                $= P\{ Z \le 1 \}-(1-P\{ Z \le 1 )\}$
                                $= 2\cdot P\{ Z \le 1 \}-1$
                                $= 2\,F(1)-1$
                                $\underset{(2)}{=} 2\cdot 0'8413-1$
                                $=0'6826$

= = =

(1) Con el cambio de variable
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
pasamos de $X\sim N(2,4)$ a $Z\sim N(0,1)$ con lo cual podemos leer los valores de la función de distribución de probabilidad $F(x)$ en las tablas.

(2) Obtenemos $F(1)$ consultando las tablas de la d. $N(0,1)$ ( los valores vienen aproximados hasta la cuarta cifra decimal ).

= = =
$\square$

[nota del autor]