Calculando el tamaño de la muestra para garantizar el margen de error dado

Enunciado:
Para estimar la proporción, $p$, de familias de una determinada ciudad que poseen un determinado tipo de electrodoméstico, se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ y se observa el valor del estimador $\hat{p}$ de $p$, que resulta ser igual a $0'4$. ¿ Cuál es el valor mínimo de $n$ para que, a un nivel de confianza del $95\,\%$, el margen de error de la estimación de la proporción $p$ ( intervalo de confianza ) sea menor que $0'01$ ?.

Resolución:
Al ser la variable $X \sim B(1,p)$ ( distribución de Bernoulli ) y, considerando muestras grandes,
la variable aleatoria asociada al estimador, $\hat{p}$, de $p$ es
    $\hat{p} \approx N\bigg( p\,,\, \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}} \bigg)$
el intervalo de confianza de $p$, con un coeficiente de confianza $1-\alpha=0'95$ es
    $I_{0'95}(p)=\big(\hat{p} - z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}} \,,\, \hat{p} + z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}\big)$
es decir
    $p = \hat{p} \, \pm \, z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}$
donde, ahora, $\hat{p}$ representa el valor observado en la muestra, es decir, $0'4$ y $z_{\alpha / 2} = z_{0'05 / 2} = z_{0'025} \underset{tablas \; N(0,1)}{=} 1'96$

Teniendo en cuenta que el margen de error en la estimación de $p$ es
    $z_{\alpha / 2}\cdot \sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}$
deberá cumplirse ( requerimiento del enunciado ) que
    $1'96\cdot \sqrt{\dfrac{0'4\cdot 0'6}{n}} \prec 0'01$
por tanto
    $\sqrt{\dfrac{0'4\cdot 0'6}{n}} \prec \dfrac{0'01}{1'96}$
y, elevando al cuadrado en cada miembro de la desigualdad
    $\dfrac{0'4\cdot 0'6}{n} \prec \bigg(\dfrac{0'01}{1'96}\bigg)^2$
de donde
    $n \succ \dfrac{0'4 \cdot 0'6}{(\frac{0'01}{1'96})^2} \approx 9219$
es decir, deberemos consultar un mínimo de $9219$ familias para garantizar el margen de error pedido.
$\square$

[nota del autor]