Sobre la distribución en el muestreo de la variable aleatoria que corresponde al estimador de una proporción

Enunciado:
Un alumno se ha presentado como representante al Consejo Escolar de su instituto. En las elecciones, el $50\,\%$ de los votos son favorables a su candidatura. Se escoge una muestra aleatoria simple de $110$ alumnos entre los que han depositado su votado. Se pide:
    a) ¿ Cuál es la distribución en el muestreo que sigue el estimador de la proporción (de la población) a favor de su candidatura ?
    b) Hallar la probabilidad de que más del $40\,\%$ de los alumnos de la muestra hayan votado favorablemente a dicho candidato ?

Resolución:
a)
Denotamos por $p$ a la proporción de la población que vota favorablemente a este candidato.

Consideremos una muestra aleatoria simple de tamaño muestral $n$, $X_1,X_2,\ldots,X_n$, siendo los valores unos o ceros ( codificando con un 1 cada voto favorable y con un 0 cada voto desfavorable ), pues se puede establecer, en buena lógica, que la variable $X$ es dicotómica y, por ello, sigue una distribución de Bernoulli $B(1,p)$.

Dicho esto, recordemos que el mejor estimador de $p$ es la proporción muestral que denotaremos por $\hat{p}$, definida de la forma
    $\displaystyle \hat{p}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\,X_{i}}{n}$
luego la distribución en el muestreo de la variable aleatoria $n\,\hat{p}$ es una d. Binomial $B(n,p)$, y, de aquí, se puede demostrar que, para muestras grandes ( digamos $n > 100$ ), la variable aleatoria que corresponde al estimador $\hat{p}$ de la proporción de población sigue, aproximadamente, una distribución normal
de media
    $\mu=p$
y desviación típica
    $\sigma=\sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}$
luego tipificando la variable aleatoria podemos escribir
    $\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \approx N(0,1)$

b)
Conociendo la proporción $p$ de la población, que es igual a $0'5$, y dado que
    $\sigma=\sqrt{\dfrac{0'5\,(1-0'5)}{110}}$
la respuesta al segundo apartado es
    $P\{\hat{p}>0'4\}=P\{Z>\dfrac{0'4-0'5}{110}\}=P\{Z>-2'0976\}=$

                $=1-P\{Z\le -2'0976\}$

                $=1-P\{Z\ge 2'0976\}$
                $\underset{(1)}{=} 1-0'0180$
                $=0'982$

===
    (1): Consultando las tablas de la distribución normal tipificada $N(0,1)$ e interpolando:
        $\dfrac{P\{Z>2'0976\}-0'0179}{2'0976-2'10}=\dfrac{0'0179-0'0183}{2'10-2'09}$
de donde
        $P\{Z>2'0976\}=\dfrac{0'0179-0'0183}{2'10-2'09} \cdot (2'0976-2'10)+0'0179$
            $\approx 0'0180$
===
$\square$

Referencias:

• Adaptación del Problema propuesto 13.4 del Libro Base
  

[nota del autor]