Contraste de hipótesis bilateral sobre la diferencia de medias de dos poblaciones con distribución normal

Enunciado:
Dos laboratorios farmacéuticos fabrican sendos somníferos, $A$ y $B$. Se puede tratar a los pacientes aquejados de insomnio con uno u otro medicamento. Al objeto de comparar la efectividad de estos medicamentos, se toman una muestra de $80$ pacientes de la población tratada con $A$ y otra muestra de $100$ pacientes de la población tratada con $B$. Sabemos ( por otros estudios ) que el número de horas de sueño en los pacientes de insomnio se distribuye de forma aproximadamente normal, y se observa, al final de los dos tratamientos ( con la misma dosificación y la misma duración ), que el número medio de horas de sueño en la muestra de pacientes tratados con $A$ es de $7'84$ horas con una desviación típica de $0'90$ horas, y que el número medio de horas de sueño en la muestra de pacientes tratados con $B$ es de $6'90$ horas con desviación típica de $1'30$ horas. ¿ Se pude decir, a nivel de significación del $5\,\%$, que hay diferencias significativas en la eficacia de los medicamentos $A$ y $B$ ?.

Resolución:
Si no hay diferencias significativas en los resultados de los dos tratamientos, no las habrá entre las medias poblacionales respectivas y, por tanto, parece razonable plantear el siguiente contraste de hipótesis bilateral: $H_0:\,\mu_1-\mu_2 = (\mu_1-\mu_2)_0$, siendo $(\mu_1-\mu_2)_0=0$ ( hipótesis nula o estándar/fundamental ) frente a $H_1:\,\mu_1-\mu_2 \neq 0$ ( hipótesis alternativa ), donde $\mu_1$ y $\mu_2$ son las medias de las respectivas poblaciones ( población de todos los pacientes tratados con el medicamento $A$ y con el medicamento $B$, respectivamente ), siendo el estadístico del muestreo: $\dfrac{(\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \approx N(0,1)$

Como datos, disponemos de: las medias muestrales, las desviaciones típicas de ambas muestras, y los tamaños muestrales: $\overline{x_1}=7'84$, $\overline{x_2}=6'90$, $\sigma_1=0'90$, $\sigma_2=1'30$, $n_1=80$, $n_2=100$.

De acuerdo con lo explicado en un artículo anterior, decidiremos aceptar $H_0$ a nivel de significación $\alpha$ si el valor observado del estadístico $\dfrac{|(\overline{x_1}-\overline{x_2})-0|}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \le z_{\alpha / 2}$ por ser el intervalo de aceptación de la hipótesis de la hipótesis nula:

$$C^{*}=[ \; (\mu_1-\mu_2)_0-z_{\alpha / 2} \cdot {\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \;,\; (\mu_1-\mu_2)_0+z_{\alpha / 2}\cdot {\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \; ]$$
es decir
$$C^{*}=[ \; 0-z_{\alpha / 2} \cdot {\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \;,\; 0+z_{\alpha / 2}\cdot {\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \; ]$$
y caer entonces dicho valor observado en $C^{*}$; en caso contrario, decidiremos rechazar $H_0$, aceptando por tanto $H_1$.

De las tablas $Z \sim N(0,1)$ encontramos el valor crítico $z_{\alpha /2}=z_{0'05 / 2}=z_{0'025}=1'96$ ( abscisa que deja a su derecha el $\alpha \cdot 100 \, \%$ de la la distribución de probabilidad ). Veamos pues si se cumple la condición de aceptación de $H_0$: $\dfrac{|(7'84-6'90)-0|}{\sqrt{\dfrac{0'90^{2}}{80}+\dfrac{1'30^{2}}{100}}}\approx 5'72 \nleqslant z_{0'025}=1'96$, luego rechazamos $H_0$ a nivel de significación $\alpha=0'05$; esto es: concluimos que hay diferencias significativas en la eficacia de los dos medicamentos, a nivel de significación $\alpha=0'05$.

$\square$

[nota del autor]