Comentarios sobre el Teorema Central del Límite y su aplicación a la estimación de la media

Teorema Central del Límite
Dada un muestreo aleatorio simple formado por una sucesión de variables aleatorias independientes $X_1,\ldots\,X_n$ con la misma varianza y la misma media que la variable aleatoria $X$ que sirve de modelo a una cierta característica de la población, entonces la variable aleatoria $(X_1+\ldots+X_n)/n$, que corresponde al estimador $\overline{x}$ de la media $\mu$, sigue una distribución de probabilidad normal $N(\mu\,,\,\sqrt{n}\,\sigma$, por tanto la variable tipificada
    $\dfrac{(X_1+\ldots+X_n)/n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
sigue una distribución normal $N(0,1)$.

Observación/comentario:
En muchos problemas de estimación de la media $\mu$ mediante el estimador $\overline{x}$ de la misma, cuya variable aleatoria (en el muestreo) tipificada es
    $\dfrac{\overline{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
nos toparemos, no obstante, con dos dificultades a la hora de aplicar el TCL: una de ellas será debido a que las muestras puedan ser demasiado pequeñas con lo cual deja deja de tener validez, y, por otra parte, también es muy frecuente no conocer la varianza $\sigma^2$ de la población y, por tanto, tampoco la desviación típica $\sigma$ con lo cual deberemos estimarla, por medio del estimador insesgado de la misma, que es la cuasivarianza, es decir, mediante
    $\displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x-\mu)^2$
y de aquí obtener la cuasidesviación típica
    $\displaystyle S=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x-\mu)^2}$
ello nos permitirá operar con otro estimador de la media poblacional:
    $t_{n-1}=\dfrac{\overline{x} - \mu}{S / \sqrt{n}}$
cuya distribución no es $N(0,1)$ sino otra d. conocida como distribución de Student ( debida a William Gosset ) -- con $n-1$ grados de libertad, tal como se anota arriba --, además, funciona también bastante bien para muestras pequeñas. Por supuesto, encontraremos tabulados sus valores en los libros de tablas estadísticas.

[nota del autor]