Un poco de álgebra con las desigualdades

Enunciado:
Justificar lo siguiente
    $\overline{x}-c \le \mu \le \overline{x}+c \Leftrightarrow \mu-c \le \overline{x} \le \mu+c$

Resolución:
Partiendo de
    $\overline{x}-c \le \mu \le \overline{x}+c$
vamos a sumar $-\mu-\overline{x}$ a cada miembro de la doble desigualdad, con lo cual podemos escribirla de la forma
    $\overline{x}-c -\mu-\overline{x} \le \mu-\mu - \overline{x} \le \overline{x}+c - \mu-\overline{x}$
y simplificando
    $-c -\mu \le -\overline{x} \le c - \mu$
multiplicando ahora por $-1$ en cada miembro de la doble desigualdad
    $c + \mu \ge \overline{x} \ge \mu - c$
llegamos a
    $\mu-c \le \overline{x} \le \mu + c$
Por supuesto, podemos demostrar la implicación a la izquierda siguiendo un proceso similar.
$\square$

Nota:   De manera similar, se demuestra también que
    $\overline{x} -c \le \mu \le \overline{x} + c \Leftrightarrow -c \le \overline{x}-\mu \le c$

[nota del autor]