Estimadores. Distribución en el muestreo. Sobre la suma de los valores muestrales.

Enunciado:
El voltaje de las pilas de una determinada marca se asocia a una variable aleatoria de media igual a $\mu=1'5$ voltios y de distribución $\sigma=0'2$ voltios ( parámetros de la población de pilas ). Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño $n=100$ pilas y se conectan todas estas pilas en serie, lo cual supone que, al sumarse los voltajes, se pueda disponer de una batería de, aproximadamente, $150$ voltios. Calcular la probabilidad de que la batería resultante tenga un voltaje comprendido entre $148$ voltios y $152$ voltios.

Resolución:
Dice el Teorema Central del Límite que, dada un muestreo aleatorio simple formado por una sucesión de variables aleatorias independientes $X_1,\ldots\,X_n$ con la misma varianza y la misma media que la variable aleatoria $X$ que sirve de modelo a una cierta característica de la población, entonces la variable aleatoria $(X_1+\ldots+X_n)/n$, que corresponde al estimador $\overline{x}$ de la media $\mu$ sigue una distribución de probabilidad normal $N(\mu\,,\,\sqrt{n}\,\sigma$, por tanto la variable tipificada
    $\dfrac{(X_1+\ldots+X_n)/n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
es una $N(0,1)$

De aquí, se deduce como consecuencia directa de dicho teorema, que el estimador de la suma de los valores muestrales $X_1+\ldots+X_n$ tiene una distribución normal de media $n\mu$ y desviación típica $\sqrt{n}\,\sigma$.

En nuestro caso, nos parece apropiado denotar por $\hat{V}$ a dicho estimador (por referirnos a la suma de voltajes de la batería resultante de la asociación), luego
    $\hat{V} \sim N( n \,\mu \,,\,\sqrt{n} \,\sigma )$
con lo cual podemos escribir
    $P\{148 \le \hat{V} \le 152 \} = P\{ \hat{V} \le 152 \}-P\{ \hat{V} \le 148\}$
                $=P\{Z \le \dfrac{152-100\cdot 1'5}{0'2\,\sqrt{100}}\}-P\{Z \le \dfrac{148-100\cdot 1'5}{0'2\,\sqrt{100}}\}$
                $=P\{Z \le 1\}-P\{Z \le -1\}$
                $=(1-P\{Z > 1\})-P\{Z \ge 1\}$
                $=1-2\,P\{Z > 1\})\}$
                $\underset{(1)}{=} 1-2 \cdot 0'1587$
                $=0'6826$

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      (1):consultando las tablas de la normal $N(0,1)$
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$\square$

[nota del autor]