Obtención del percentil n de una variable aleatoria normal de parámetros conocidos

Enunciado:
Sea una variable aleatoria $X$ con una distribución normal de parámetros $\mu=20$ ( media ) y $\sigma=2$ ( desviación típica ). Calcular el percentil $10$.

Resolución:
El percentil $n$ ( en nuestro caso, el percentil $10$ ) de una variable aleatoria $X$ es, el valor de la abscisa $x$ de la función de distribución de probabilidad de la misma, $F(x)$, para el cual el valor de dicha función es $1/n$ ( en nuestro caso $1/10 = 0'1$ ); en otras palabras, el valor de la variable aleatoria $X$ que deja a su izquierda el $n \cdot 100\,\%$ ( en nuestro caso, el $10 \, \%$ ) de los valores ( ordenados de menor a mayor ) de la misma.

Denotemos por $x_{0'1}$ ( el valor pedido ) tal que $P\{X \prec x_{0'1}\} = 0'1$, donde $X \sim N(20,2)$.
Tipificando, podemos escribir ésto de la forma:
    $P\{Z \prec \dfrac{x_{0'1}-20}{2}\} = 0'1$
donde
    $Z \sim N(0,1)$
es decir
    $F\big(\frac{x_{0'1}-20}{2}\big) = 0'1$
Ahora bien, en las tablas disponibles no están tabulados los valores de $F$ menores que $0'5$, por lo que debemos tener en cuenta la simetría de de la función de densidad de probabilidad $f(z)$ para extraer de ellas la información que necesitamos. Veamos cómo hacerlo. Por comodidad, denotemos por $k$ al argumento de la función de distribución de probabilidad,
    $k:=\frac{x_{0'1}-20}{2}$
entonces $P\{X \prec k\}$, que és igual a $0'1$, es igual ( por simetría ) a $P\{X \succ -k\}$ y a su vez ésto es igual a $1-P\{X \succ -k\}$, luego $P\{X \prec -k\}=1-0'1=0'9$, valor que sí encontramos tabulado y que corresponde a $-k\approx 1'28$; es decir,
    $- \frac{x_{0'1}-20}{2} \approx 1'28 \Rightarrow x_{0'1} \approx 20 -2 \cdot 1'28 = 14'44$
$\square$

[nota del autor]