Un ejercicio sobre el estimador de la la media de una población normal de varianza conocida

Enunciado:
La emisión de un cierto contaminante procedente del escape de los vehículos con motor de combustión de cierta marca sigue una distribución normal de media $\mu=1'2$ (en unidades arbitrarias) y desviación típica $\sigma=0'4$. Se escoge al azar una muestra de $25$ vehículos. Se pide:
    a) ¿ Cuál es la distribución en el muestreo del estimador de la media ?
    b) Hallar la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor de $1'2$

Resolución:
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población que describe la cantidad de contaminante emitida: $X \sim N(1'2\,,\,0'4)$; entonces, por el Teorema Central del Límite, el estimador de la media de una población normal sigue también una distribución normal, de media igual a $\mu$ y desviación típica $\sigma / \sqrt{n}$, es decir, $\overline{x}\sim N(\mu \,,\,\sigma / \sqrt{n})$
b)
    $P\{\overline{x} > 1'2\}$
y tipificando la variable
    $P\{ \dfrac{\overline{x}-\mu} {\sigma / \sqrt{n} } > \dfrac{1'2-\mu}{ \sigma / \sqrt{n} } \}$
      $=P\{Z > \dfrac{1'2-1'2}{0'4 / \sqrt{25}} \}$
      $=P\{Z > 0 \} \underset{(1)}{=} 0'5$

        (1) Consultando las tablas de la distribución normal tipificada $N(0,1)$
$\square$

Referencias:

• Adaptación del Problema propuesto 13.5 del Libro Base
  

[nota del autor]