ENUNCIADO
Se considera la función real de variable real definida por: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6} & \text{si} & x \prec 2\\
\\
3x+m & \text{si} & x \ge 2
\end{matrix}\right.$$
a) Calcúlese el valor del parámetro real $m$ para que la función $f$ sea continua en $x=2$
b) Calcúlense $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el tramo izquierdo de la función se simplifica al factorizar los polinomios del numerador y denominador de la fracción algebraica $$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x+2}{x-3}$$
con lo cual, el único valor de $x$ que presenta problemas de continuidad es $x=3$, ya que éste anula el denominador ( y no el numerador ); sin embargo, tan solo se nos pide que averigüemos el valor que debe tomar el parámetro $m$ ( del segundo tramo de la función ) para que ésta sea continua en el punto de abscisa $x=2$; para ello, impongamos la condición de continuidad: $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=f(2)$$ y por tanto $$\dfrac{x+2}{x-3}\,|_{x=2}=(3x+m)|_{x=2}$$ esto es $$\dfrac{2+2}{2-3}=3 \cdot 2 +m \Leftrightarrow m=-10$$ siendo $$f(2)=3\cdot 2 -10=-4$$
b)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x/x+2/x}{x/x-3/x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{1+2/x}{1-3/x}=\dfrac{1+\frac{2}{-\infty}}{1-\frac{3}{-\infty}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(3x+m)=+\infty+m=+\infty$
$\square$
domingo, 21 de junio de 2015
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es ...
ENUNCIADO
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es $f'(x)=3\,x^2+2\,x$,
a) Calcúlese la expresión $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1,4)$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $P(1,4)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por el Primer Teorema Fundamental del Calculo podemos escribir $$f(x)=\int\,(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $f(1)=4$, de lo anterior vemos que $$4=1^3+1^2+C \Leftrightarrow C=2$$ con lo cual, la función pedida es $$f(x)=x^3+x^2+2$$
b)
Como la función dada es continua y derivable ( para todo valor de $x$ en el caso que nos ocupa ), teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio en un intervalo que incluya el punto $x=1$, podemos escribir que
$$f'(1)=\dfrac{y-f(1)}{x-1}$$
de donde, despejando $y$, se deduce que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por
$$y=f(1)+f'(1)\,(x-1) \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
La función derivada de $f$ es
$$f'(x)=3\,x^2+2\,x$$
luego la derivada en el punto pedido es
$$f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 5 $$
por lo que, sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(1,4)$:
$$y=5x-1$$
$\square$
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real $f$ es $f'(x)=3\,x^2+2\,x$,
a) Calcúlese la expresión $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1,4)$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $P(1,4)$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por el Primer Teorema Fundamental del Calculo podemos escribir $$f(x)=\int\,(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $f(1)=4$, de lo anterior vemos que $$4=1^3+1^2+C \Leftrightarrow C=2$$ con lo cual, la función pedida es $$f(x)=x^3+x^2+2$$
b)
Como la función dada es continua y derivable ( para todo valor de $x$ en el caso que nos ocupa ), teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio en un intervalo que incluya el punto $x=1$, podemos escribir que
$$f'(1)=\dfrac{y-f(1)}{x-1}$$
de donde, despejando $y$, se deduce que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por
$$y=f(1)+f'(1)\,(x-1) \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
La función derivada de $f$ es
$$f'(x)=3\,x^2+2\,x$$
luego la derivada en el punto pedido es
$$f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 5 $$
por lo que, sustituyendo en (1), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(1,4)$:
$$y=5x-1$$
$\square$
Sean las funciones ... Calcular el área de la región delimitada
ENUNCIADO
Sean las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-6x$ y $g(x)=x-10$
a) Represéntese gráficamente las funciones $f$ y $g$
b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones $f$ y $g$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
b)
El área pedida corresponde a la de la región representada en la siguiente figura
Figura 1
Las abscisas de los puntos de intersección, $A$ y $B$, de las gráficas de $f$ y $g$ son la solución de la ecuación $$x^2-6x=x-10 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}
2 \\
\\
5
\end{matrix}\right.$$
Figura 2
Figura 2
Restando el valor de las integrales definidas representadas en las figuras 2 y 3, el valor absoluto de dicho resultado ( él área es, por definición, una magnitud positiva ) representa el área pedida: $$\left| \int_{2}^{5}\,(g(x)-f(x))\,dx \right|$$ esto es $$\left| \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx \right|$$ Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, resolvemos la integral indefinida $$ \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx $$ Una función primitiva es $$-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x$$ y, por Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ) nos queda $$ \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x \right]_{2}^{5} $$
cuyo valor absoluto es el área pedida $$\left|(-\dfrac{1}{3}\,5^3+\dfrac{7}{2}\,5^2-10\cdot 5)-(-\dfrac{1}{3}\,2^3+\dfrac{7}{2}\,2^2-10\cdot 2)\right|$$ y haciendo los cálculos, llegamos al siguiente resultado $$\dfrac{9}{2}$$
expresado en unidades arbitrarias de área.
$\square$
Sean las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-6x$ y $g(x)=x-10$
a) Represéntese gráficamente las funciones $f$ y $g$
b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones $f$ y $g$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
b)
El área pedida corresponde a la de la región representada en la siguiente figura
Las abscisas de los puntos de intersección, $A$ y $B$, de las gráficas de $f$ y $g$ son la solución de la ecuación $$x^2-6x=x-10 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}
2 \\
\\
5
\end{matrix}\right.$$
Figura 2Figura 2Restando el valor de las integrales definidas representadas en las figuras 2 y 3, el valor absoluto de dicho resultado ( él área es, por definición, una magnitud positiva ) representa el área pedida: $$\left| \int_{2}^{5}\,(g(x)-f(x))\,dx \right|$$ esto es $$\left| \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx \right|$$ Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, resolvemos la integral indefinida $$ \int_{2}^{5}\,(-x^2+7x-10)\,dx $$ Una función primitiva es $$-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x$$ y, por Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ) nos queda $$ \left[ -\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{7}{2}\,x^2-10\,x \right]_{2}^{5} $$
cuyo valor absoluto es el área pedida $$\left|(-\dfrac{1}{3}\,5^3+\dfrac{7}{2}\,5^2-10\cdot 5)-(-\dfrac{1}{3}\,2^3+\dfrac{7}{2}\,2^2-10\cdot 2)\right|$$ y haciendo los cálculos, llegamos al siguiente resultado $$\dfrac{9}{2}$$
expresado en unidades arbitrarias de área.
$\square$
viernes, 19 de junio de 2015
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2&2 &0 \\ 0 & 3 &2 \\ -1 & k &2 \end{pmatrix}$$ ...
ENUNCIADO
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}
2&2 &0 \\
0 & 3 &2 \\
-1 & k &2
\end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ según los valores del parámetro real $k$
b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de $A$ para $k=3$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el determinante de la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de la primera y segunda filas y los de la primera y segunda columnas es $\begin{vmatrix}
2 &2 \\
0 &3
\end{vmatrix}=6 \neq 0$, por lo que deducimos que el rango de $A$ es mayor o igual que $2$, y menor que $3$ ( por ser éste el orden de la matriz ). Orlando esta submatriz obtenemos una única submatriz de un orden superior, que es la matriz $A$, y cuyo determinante es igual a $8-4k$, el cual sólo se anula para $k=2$; por consiguiente, podemos afirmar que $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si} & k=2 \\
3 & \text{si} & k\neq2 \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Si $k=3$, el rango de $A$ es $3$, luego por el resultado del apartado anterior, el determinante de $A$ es no nulo, luego existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Procedemos a calcularla por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \overset{\text{operaciones elementales entre filas}}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$, donde $I$ es la matriz identidad.
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{2\,f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & 4 & 1 & 0 & 2\\
\end{array}\right) \overset{-\frac{8}{3}\cdot\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{2\cdot \frac{3}{4}\cdot\,f_3+f_2 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ -\frac{2}{3}\cdot\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ \frac{1}{2}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{3}\,f_2 \rightarrow f_2;-\frac{3}{4}\,f_3 \rightarrow f_3 }{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
luego $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1\\
1/2 & -1 & 1\\
-3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
$\square$
Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix}
2&2 &0 \\
0 & 3 &2 \\
-1 & k &2
\end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ según los valores del parámetro real $k$
b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de $A$ para $k=3$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Observemos que el determinante de la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de la primera y segunda filas y los de la primera y segunda columnas es $\begin{vmatrix}
2 &2 \\
0 &3
\end{vmatrix}=6 \neq 0$, por lo que deducimos que el rango de $A$ es mayor o igual que $2$, y menor que $3$ ( por ser éste el orden de la matriz ). Orlando esta submatriz obtenemos una única submatriz de un orden superior, que es la matriz $A$, y cuyo determinante es igual a $8-4k$, el cual sólo se anula para $k=2$; por consiguiente, podemos afirmar que $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si} & k=2 \\
3 & \text{si} & k\neq2 \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Si $k=3$, el rango de $A$ es $3$, luego por el resultado del apartado anterior, el determinante de $A$ es no nulo, luego existe matriz inversa de $A$ ( que es única ). Procedemos a calcularla por el método de Gauss-Jordan: $(A|I) \overset{\text{operaciones elementales entre filas}}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$, donde $I$ es la matriz identidad.
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{2\,f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & 4 & 1 & 0 & 2\\
\end{array}\right) \overset{-\frac{8}{3}\cdot\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 8 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{2\cdot \frac{3}{4}\cdot\,f_3+f_2 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ -\frac{2}{3}\cdot\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2\\
0 & 3 & 0 & 3/2 & -3 & 3\\
0 & 0 & -4/3 & 1 & -8/3 & 2\\
\end{array}\right) \overset{ \frac{1}{2}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{3}\,f_2 \rightarrow f_2;-\frac{3}{4}\,f_3 \rightarrow f_3 }{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0 & 1/2 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
luego $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1\\
1/2 & -1 & 1\\
-3/4 & 2 & -3/2\\
\end{array}\right) $$
$\square$
Una fábrica de piensos produce diariamente, como mucho, seis toneladas de ...
ENUNCIADO
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente, como mucho, seis toneladas de pienso de tipo $A$; y, a lo sumo, cuatro toneladas de pienso de tipo $B$. Además, la producción diaria de pienso de tipo $B$ no puede superar el doble de la de tipo $A$; y, por último, el doble de la fabricación de pienso de tipo $A$ sumada con la de tipo $B$ debe ser, como poco, de cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso de tipo $A$ es de $1000$ euros, y el de una tonelada de pienso de tipo $B$ es de $2000$ euros, ¿ cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo ? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Denotemos por $a$ la cantidad de pienso de tipo $A$ producida diariamente; y, por $b$, la de tipo $B$. Entonces, el sistema de restricciones es
$$\mathcal{R:}\left\{\begin{matrix}
a & \ge & 0 \\
b & \ge & 0 \\
a & \le & 6 \\
b & \le & 4 \\
b & \le & 2\,a \\
2a &+&b& \ge & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
Las dos primeras desigualdades sitúan la región factible en el primer cuadrante. Para determinar su contorno, trazamos las rectas frontera
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:\,b & = & 0 \\
r_2:\,a & = & 6 \\
r_3:\,b & = & 4 \\
r_4:\,b & = & 2\,a \\
r_5;\,b &=&-2\,a& + & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
y calculando las coordenadas de los vértices,
$$A \in r_3 \cap r_4 \Rightarrow A:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & 4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow A(2,4)$$
$$B \in r_4 \cap r_5 \Rightarrow B:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow B(1,2)$$
$$C \in r_1 \cap r_5 \Rightarrow C:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow C(2,0)$$
$$D \in r_1 \cap r_2 \Rightarrow D:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow D(6,0)$$
$$E \in r_2 \cap r_3 \Rightarrow E:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 4 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow E(6,4)$$
La función objetivo es $$f(a,b)=1000\,a+2000\,b$$
Escogiendo $f(a,b):=0$, representamos fácilmente una de las rectas de la familia de rectas de la función objetivo: $b=-\dfrac{1}{2}\,a$; y, trazando paralelas a la misma que incidan en la región factible $\mathcal{R}$, visualizamos dicha familia ( en rojo ), para los diversos valores de $f(a,b)$, cantidad a la que, por comodidad, denominaremos $k$: $$\mathcal{F}:\,b=-\dfrac{1}{2}\,a+\dfrac{k}{2000}$$ De entre estas infinitas rectas, encontramos que la recta que da el mínimo valor de $f(a,b)$; y, por tanto, el mínimo valor de la ordenada en el origen $\dfrac{k}{2000}$, que es la que pasa por el punto $A(2,0)$, como se observa en el gráfico. Las rectas paralelas que pasan por los otros vértices de $\mathcal{R}$ dan valores mayores de $f$, tal y como se puede comprobar, también, de forma numérica. De aquí se deduce que para que el coste sea mínimo, la producción diaria de pienso de tipo $A$ ha de ser de $2$ toneladas; y, la de $B$, $0$ toneladas.
En estas condiciones, el coste mínimo es igual a $f(2,0)=1000 \cdot 2 + 2000 \cdot 0 = 2000$ euros diarios.
$\square$
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente, como mucho, seis toneladas de pienso de tipo $A$; y, a lo sumo, cuatro toneladas de pienso de tipo $B$. Además, la producción diaria de pienso de tipo $B$ no puede superar el doble de la de tipo $A$; y, por último, el doble de la fabricación de pienso de tipo $A$ sumada con la de tipo $B$ debe ser, como poco, de cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso de tipo $A$ es de $1000$ euros, y el de una tonelada de pienso de tipo $B$ es de $2000$ euros, ¿ cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo ? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Denotemos por $a$ la cantidad de pienso de tipo $A$ producida diariamente; y, por $b$, la de tipo $B$. Entonces, el sistema de restricciones es
$$\mathcal{R:}\left\{\begin{matrix}
a & \ge & 0 \\
b & \ge & 0 \\
a & \le & 6 \\
b & \le & 4 \\
b & \le & 2\,a \\
2a &+&b& \ge & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
Las dos primeras desigualdades sitúan la región factible en el primer cuadrante. Para determinar su contorno, trazamos las rectas frontera
$$\left\{\begin{matrix}
r_1:\,b & = & 0 \\
r_2:\,a & = & 6 \\
r_3:\,b & = & 4 \\
r_4:\,b & = & 2\,a \\
r_5;\,b &=&-2\,a& + & 4 \\
\end{matrix}\right.$$
y calculando las coordenadas de los vértices,
$$A \in r_3 \cap r_4 \Rightarrow A:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & 4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow A(2,4)$$
$$B \in r_4 \cap r_5 \Rightarrow B:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 2\,a \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow B(1,2)$$
$$C \in r_1 \cap r_5 \Rightarrow C:\,\left\{\begin{matrix}
b & = & -2\,a+4 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow C(2,0)$$
$$D \in r_1 \cap r_2 \Rightarrow D:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 0 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow D(6,0)$$
$$E \in r_2 \cap r_3 \Rightarrow E:\,\left\{\begin{matrix}
a & = & 6 \\
b & = & 4 \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow E(6,4)$$
La función objetivo es $$f(a,b)=1000\,a+2000\,b$$
Escogiendo $f(a,b):=0$, representamos fácilmente una de las rectas de la familia de rectas de la función objetivo: $b=-\dfrac{1}{2}\,a$; y, trazando paralelas a la misma que incidan en la región factible $\mathcal{R}$, visualizamos dicha familia ( en rojo ), para los diversos valores de $f(a,b)$, cantidad a la que, por comodidad, denominaremos $k$: $$\mathcal{F}:\,b=-\dfrac{1}{2}\,a+\dfrac{k}{2000}$$ De entre estas infinitas rectas, encontramos que la recta que da el mínimo valor de $f(a,b)$; y, por tanto, el mínimo valor de la ordenada en el origen $\dfrac{k}{2000}$, que es la que pasa por el punto $A(2,0)$, como se observa en el gráfico. Las rectas paralelas que pasan por los otros vértices de $\mathcal{R}$ dan valores mayores de $f$, tal y como se puede comprobar, también, de forma numérica. De aquí se deduce que para que el coste sea mínimo, la producción diaria de pienso de tipo $A$ ha de ser de $2$ toneladas; y, la de $B$, $0$ toneladas.
En estas condiciones, el coste mínimo es igual a $f(2,0)=1000 \cdot 2 + 2000 \cdot 0 = 2000$ euros diarios.
$\square$
jueves, 18 de junio de 2015
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix} 3\,x &+ &y&-&z&=&8\\ 2\,x & &&+&a\,z&=&3\\ x &+ &y&+&z&=&2\\ \end{matrix}\right.$$ ...
ENUNCIADO
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix}
3\,x &+ &y&-&z&=&8\\
2\,x & &&+&a\,z&=&3\\
x &+ &y&+&z&=&2\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
[PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Reordenando convenientemente ( por comodidad ) las ecuaciones y el orden de las variables podemos escribir el sistema de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
-z &+ &y&+&3x&=&8\\
az & &&+&2x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
Procedamos a reducir el sistema por Gauss. Mediante las siguientes operaciones elementales entre filas ( $e_1+e_2 \rightarrow e_2; -a\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ ) [ 1ª etapa del proceso de escalonamiento ] obtenemos el siguiente sistema equivalente al original
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &2y&+&4x&=&10\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
y simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
Y, haciendo $a\,e_2+e_3 \rightarrow a_3$, concluimos el proceso de reducción
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&(2a+(2-a))\,x&=&5a+3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&(a+2)\,x&=&3\,(a+1)\\
\end{matrix}\right.$$
Distiguimos los dos siguientes casos:
I) Si $a=-2$, de la tercera ecuación obtenemos $0 \overset{!}{=}-3$, y, ante la contradicción, debemos concluir que el sistema es incompatible para ese valor de $a$
II) Si $a \neq -2$ las tres ecuaciones son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y al ser igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado
b)
Si $a=1 \neq -2$ hemos visto que el sistema es compatible determinado; procedemos a calcular la solución, sustituyendo el valor del parámetro que se nos da en el sistema reducido ( recordemos que es equivalente al original ):
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&3\,x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
De la tercera ecuación, encontramos $x=2$; sustiyendo este valor en la segunda ecuación, vemos que $y=2\cdot 2 = 5 \Rightarrow y=1$; y, a su vez, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, encontramos el valor de $z$: $z+2+1=2 \Rightarrow z=-1$
$\square$
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left\{\begin{matrix}
3\,x &+ &y&-&z&=&8\\
2\,x & &&+&a\,z&=&3\\
x &+ &y&+&z&=&2\\
\end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
[PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
Reordenando convenientemente ( por comodidad ) las ecuaciones y el orden de las variables podemos escribir el sistema de la forma
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
-z &+ &y&+&3x&=&8\\
az & &&+&2x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
Procedamos a reducir el sistema por Gauss. Mediante las siguientes operaciones elementales entre filas ( $e_1+e_2 \rightarrow e_2; -a\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ ) [ 1ª etapa del proceso de escalonamiento ] obtenemos el siguiente sistema equivalente al original
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &2y&+&4x&=&10\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
y simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &-ay&+&(2-a)\,x&=&3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
Y, haciendo $a\,e_2+e_3 \rightarrow a_3$, concluimos el proceso de reducción
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&(2a+(2-a))\,x&=&5a+3-2a\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&(a+2)\,x&=&3\,(a+1)\\
\end{matrix}\right.$$
Distiguimos los dos siguientes casos:
I) Si $a=-2$, de la tercera ecuación obtenemos $0 \overset{!}{=}-3$, y, ante la contradicción, debemos concluir que el sistema es incompatible para ese valor de $a$
II) Si $a \neq -2$ las tres ecuaciones son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y al ser igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado
b)
Si $a=1 \neq -2$ hemos visto que el sistema es compatible determinado; procedemos a calcular la solución, sustituyendo el valor del parámetro que se nos da en el sistema reducido ( recordemos que es equivalente al original ):
$$\left\{\begin{matrix}
z &+ &y&+&x&=&2\\
& &y&+&2x&=&5\\
& &&&3\,x&=&3\\
\end{matrix}\right.$$
De la tercera ecuación, encontramos $x=2$; sustiyendo este valor en la segunda ecuación, vemos que $y=2\cdot 2 = 5 \Rightarrow y=1$; y, a su vez, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, encontramos el valor de $z$: $z+2+1=2 \Rightarrow z=-1$
$\square$
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a ...
ENUNCIADO
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a $1000 \, \text{h}$.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño $81$ y la media muestral de su duración ha sido $\bar{x}=8000 \, \text{h}$. Calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre $7904$ y $8296$ horas para una muestra aleatoria simple de tamaño $100$ si sabemos que $\mu=8100 \, \text{h}$ ?
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad (1)$. Conocemos el valor de la media muestral, $\bar{x}=8000$, y nos falta determinar el valor del máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha = 1-0'99=0'01$ ).
Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ). En el caso que nos ocupa, $\alpha/2=0'01/2=0'005$; por tanto, como $P\{Z \le z_{0'005} \}=1-0'005=0'995$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada, $N(0,1)$, encontramos el valor de la abscisa $z_{0'005} \approx 2'58$
Por otra parte, la desviación típica del estimador $\bar{x}$ ( variable aleatoria ) de $\mu$ en el muestreo es $\sigma/\sqrt{n}=1000/\sqrt{81}=1000/9 \, \text{h}$
Así, encontramos que el error máximo en la estimación ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) es $ E = 2'58 \cdot \dfrac{1000}{9} \approx 287 \, \text{h}$. Con lo cual, de (1), el intervalo pedido es $$(8000-287\,,\,8000+287)$$ esto es $$I_{99\,\%}(\mu)=(7713\,,\,8287)\quad \quad \text{( en horas )}$$
(b)
La variable aleatoria $\bar{x}$ con la que se estima $\mu$ tiene una distribución ( en el muestreo ) $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( Teorema Central del Límite ).
Se nos pide que calculemos $P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}$.
Tipifiquemos la variable del estimador de $\mu$, $\bar{x}$, mediante la transformación $$\bar{x} \rightarrow Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ así, $Z$ es $N(0,1)$.
Por otra parte, teniendo en cuenta ahora que el tamaño muestral es $n=100$ y asumiendo que $\sigma = 1000 \, \text{h}$, calculamos la desviación típica en el muestro de la v.a. $\bar{x}$ en esta nueva situación, y encontramos que $\sigma/\sqrt{n} = 1000/\sqrt{100} = 100 \, \text{h}$.
Así,
$P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}=P\{ \dfrac{7904-8000}{100} \le Z \le \dfrac{8296-8000}{100} \}$
$= P\{ -0'96 \le Z \le 2'96 \}=P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \prec -0'96 \}$
$= P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \succ 0'96 \}$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ )
$= P\{ Z \le 2'96 \} - ( 1 - P\{ Z \le 0'96 ) \}$ ( por la probabilidad del suceso contrario )
$= P\{ Z \le 2'96 \} + P\{ Z \le 0'96 ) - 1 \}$
$\overset{\text{tablas} N(0,1)}{=} 0'9985 + 0'8315 - 1$
$= 0'83$
$\square$
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a $1000 \, \text{h}$.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño $81$ y la media muestral de su duración ha sido $\bar{x}=8000 \, \text{h}$. Calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre $7904$ y $8296$ horas para una muestra aleatoria simple de tamaño $100$ si sabemos que $\mu=8100 \, \text{h}$ ?
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad (1)$. Conocemos el valor de la media muestral, $\bar{x}=8000$, y nos falta determinar el valor del máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha = 1-0'99=0'01$ ).
Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ). En el caso que nos ocupa, $\alpha/2=0'01/2=0'005$; por tanto, como $P\{Z \le z_{0'005} \}=1-0'005=0'995$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada, $N(0,1)$, encontramos el valor de la abscisa $z_{0'005} \approx 2'58$
Por otra parte, la desviación típica del estimador $\bar{x}$ ( variable aleatoria ) de $\mu$ en el muestreo es $\sigma/\sqrt{n}=1000/\sqrt{81}=1000/9 \, \text{h}$
Así, encontramos que el error máximo en la estimación ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) es $ E = 2'58 \cdot \dfrac{1000}{9} \approx 287 \, \text{h}$. Con lo cual, de (1), el intervalo pedido es $$(8000-287\,,\,8000+287)$$ esto es $$I_{99\,\%}(\mu)=(7713\,,\,8287)\quad \quad \text{( en horas )}$$
(b)
La variable aleatoria $\bar{x}$ con la que se estima $\mu$ tiene una distribución ( en el muestreo ) $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( Teorema Central del Límite ).
Se nos pide que calculemos $P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}$.
Tipifiquemos la variable del estimador de $\mu$, $\bar{x}$, mediante la transformación $$\bar{x} \rightarrow Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ así, $Z$ es $N(0,1)$.
Por otra parte, teniendo en cuenta ahora que el tamaño muestral es $n=100$ y asumiendo que $\sigma = 1000 \, \text{h}$, calculamos la desviación típica en el muestro de la v.a. $\bar{x}$ en esta nueva situación, y encontramos que $\sigma/\sqrt{n} = 1000/\sqrt{100} = 100 \, \text{h}$.
Así,
$P\{ 7904 \le \bar{x} \le 8296 \}=P\{ \dfrac{7904-8000}{100} \le Z \le \dfrac{8296-8000}{100} \}$
$= P\{ -0'96 \le Z \le 2'96 \}=P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \prec -0'96 \}$
$= P\{ Z \le 2'96 \} - P\{ Z \succ 0'96 \}$ ( por ser simétrica la función de densidad $f(z)$ )
$= P\{ Z \le 2'96 \} - ( 1 - P\{ Z \le 0'96 ) \}$ ( por la probabilidad del suceso contrario )
$= P\{ Z \le 2'96 \} + P\{ Z \le 0'96 ) - 1 \}$
$\overset{\text{tablas} N(0,1)}{=} 0'9985 + 0'8315 - 1$
$= 0'83$
$\square$
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que ...
ENUNCIADO
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A \cap B)=0,3$; $P(A \cap \bar{B})=0,2$ y $P(B)=0,7$. Calcúlese:
a) $P(A \cup B)$
b) $P(B|\bar{A})$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir
$$P(A \cup B ) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
con lo cual
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,7-0,3$$
y por tanto
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,4 \quad \quad (1)$$
Por otra parte
$$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$
luego
$$0,2=P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5$$
y sustituyendo en (1) encontramos que
$$P(A \cup B )=0,2+0,4=0,6$$
b)
De la definición de probabilidad condicionada
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \quad \quad (2)$$
por otra parte
$$P(B \cap \bar{A})=P(B)-P(B \cap A)=0,7-0,3=0,4$$
y
$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$$
Con lo que, sustituyendo estos dos resultados en (2), llegamos a
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{0,4}{0,5} =0,8$$
$\square$
Sean $A$ y $B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A \cap B)=0,3$; $P(A \cap \bar{B})=0,2$ y $P(B)=0,7$. Calcúlese:
a) $P(A \cup B)$
b) $P(B|\bar{A})$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
a)
Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir
$$P(A \cup B ) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
con lo cual
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,7-0,3$$
y por tanto
$$P(A \cup B ) = P(A)+0,4 \quad \quad (1)$$
Por otra parte
$$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$
luego
$$0,2=P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5$$
y sustituyendo en (1) encontramos que
$$P(A \cup B )=0,2+0,4=0,6$$
b)
De la definición de probabilidad condicionada
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \quad \quad (2)$$
por otra parte
$$P(B \cap \bar{A})=P(B)-P(B \cap A)=0,7-0,3=0,4$$
y
$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$$
Con lo que, sustituyendo estos dos resultados en (2), llegamos a
$$P(B|\bar{A})=\dfrac{0,4}{0,5} =0,8$$
$\square$
miércoles, 17 de junio de 2015
Ejercicio sobre intervalos de confianza de la media poblacional
ENUNCIADO
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos ( ms ), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=250 \, \text{ms}$
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza $(701\,,\,799)$, expresado en ms, para $\mu$ con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ mediante la media muestral con un nivel de confianza del $80\,\%$.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. La media muestral, $\bar{x}$, es por tanto igual al centro del intervalo; como conocemos los extremos del mismo, $\bar{x}=\dfrac{199+701}{2}=750 \, \text{ms}$
El máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha$ ) se denota por $E$ y representa la semi-amplitud de dicho intervalo, que, en este caso, es igual a $\dfrac{799-701}{2}=49$. Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ).
Teniendo en cuenta que $1-\alpha=0'95$, obtenemos $\alpha/2=0'025$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$, vemos que la abscisa $z_{0'025}$ viene dada por $P\{Z \le z_{0'025} \}=1-0'025=0'975$, y es igual a $1'96$.
De todo lo dicho en el párrafo anterior, podemos escribir $$49=\dfrac{1'96\cdot 250}{\sqrt{n}}$$ de donde, despejando el tamaño muestral $n$, obtenemos $$n=\left( \dfrac{1'96 \cdot 250}{49} \right)^2=100$$
(b)
Si, ahora, $1-\alpha=0'8$, $\alpha/2=0'1$. Y teniendo en cuenta que el error máximo ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) viene dado, en este caso, por $E=z_{0'1} \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}$, procedemos a obtener la abscisa $z_{0'1}$ consultando las tablas de la distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$; como $P\{Z \le z_{0'1}=1-0'1=0'9$, leemos en ellas que $z_{0'1} \approx 2'33$. Por tanto, el error máximo pedido es $E=2'33 \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}=23'3 \, \text{ms}$
$\square$
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos ( ms ), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=250 \, \text{ms}$
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza $(701\,,\,799)$, expresado en ms, para $\mu$ con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ mediante la media muestral con un nivel de confianza del $80\,\%$.
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Un intervalo de confianza para $\mu$ se escribe de la forma $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. La media muestral, $\bar{x}$, es por tanto igual al centro del intervalo; como conocemos los extremos del mismo, $\bar{x}=\dfrac{199+701}{2}=750 \, \text{ms}$
El máximo error en la estimación de $\mu$ por intervalo de confianza ( dado un cierto nivel de confianza, $1-\alpha$ ) se denota por $E$ y representa la semi-amplitud de dicho intervalo, que, en este caso, es igual a $\dfrac{799-701}{2}=49$. Sabemos que $E=z_{\alpha/2}\,\sigma(\bar{x})$, siendo $\sigma(\bar{x})$ la desviación típica, en el muestreo, del estimador ( del estadístico ) $\bar{x}$ de $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ).
Teniendo en cuenta que $1-\alpha=0'95$, obtenemos $\alpha/2=0'025$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$, vemos que la abscisa $z_{0'025}$ viene dada por $P\{Z \le z_{0'025} \}=1-0'025=0'975$, y es igual a $1'96$.
De todo lo dicho en el párrafo anterior, podemos escribir $$49=\dfrac{1'96\cdot 250}{\sqrt{n}}$$ de donde, despejando el tamaño muestral $n$, obtenemos $$n=\left( \dfrac{1'96 \cdot 250}{49} \right)^2=100$$
(b)
Si, ahora, $1-\alpha=0'8$, $\alpha/2=0'1$. Y teniendo en cuenta que el error máximo ( semi-amplitud del intervalo de confianza ) viene dado, en este caso, por $E=z_{0'1} \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}$, procedemos a obtener la abscisa $z_{0'1}$ consultando las tablas de la distribución de probabilidad de la variable normal tipificada $N(0,1)$; como $P\{Z \le z_{0'1}=1-0'1=0'9$, leemos en ellas que $z_{0'1} \approx 2'33$. Por tanto, el error máximo pedido es $E=2'33 \, \dfrac{250}{\sqrt{25}}=23'3 \, \text{ms}$
$\square$
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde ...
ENUNCIADO
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja
PAU 2015, Madrid
SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es $P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 )$ ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, $P( V_1 \cap V_2 ) = 0 $ ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}$
(b)
La probabilidad que ahora se pide es $P( V_1 | R_2 )$. Entonces, por el Teorema de Bayes, $P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}$
$=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}$
$\square$
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen al azar, de forma consecutiva y sin reemplazamiento, dos bolas de dicha bolsa. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean del mismo color
b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja
PAU 2015, Madrid
SOLUCIÓN
(a)
La probabilidad pedida es $P( (R_1 \cap R_2) \cup ( V_1 \cap V_2 )) = P( R_1 \cap R_2 ) + P( V_1 \cap V_2 )$ ( por ser incompatibles dichas uniones ); por otra parte, $P( V_1 \cap V_2 ) = 0 $ ( ya que sólo hay una bola verde en la bolsa y, por tanto, una vez extraída ésta, no puede volver a aparecer en la segunda extracción ); y, por por la definición de probabilidad condicionada, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\,P(R_2 | R_1) = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4-1}{5-1}=\dfrac{3}{5}$
(b)
La probabilidad que ahora se pide es $P( V_1 | R_2 )$. Entonces, por el Teorema de Bayes, $P( V_1 | R_2 ) = \dfrac{P(R_2|V_1)\,P(V_1)}{P(R_2|V_1)\,P(V_1)+P(R_2|R_1)\,P(R_1)}$
$=\dfrac{(1/5)\cdot 1}{(1/5)\cdot 1+(4/5)(3/4)}=\dfrac{1}{4}$
$\square$
miércoles, 3 de junio de 2015
Ejemplo de función continua pero no derivable en un cierto punto
ENUNCIADO
¿ Tiene la función $f(x)=|x|$ algún mínimo local ?
SOLUCIÓN
Recordemos que un punto se dice críto si la función no es derivable en dicho punto o bien si, siendo la función derivable en él, su derivada es cero; en este segundo caso, se denomina punto crítico estacionario.
A la vista de la gráfica de la función valor absoluto de un número real, es evidente que ésta alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, punto en el que, desde luego, también tiene un mínimo local; sin embargo, esta función no es derivable en dicho punto ( a pesar de ser continua en él ), tratándose pues, también, de un punto crítico, aunque que este mínimo local, en particular, es evidente que no será detectado mediante el procedimiento de anular la primera derivada a cero, esto es, el de encontrar los puntos estacionarios de la función.
Comentario 1:
Recordemos que para hallar los extremos relativos de una función ( máximos y mínimos locales ), deben encontrarse, primero, los puntos críticos; y, a continuación, se procederá a su clasificación, mediante los criterios del signo de la primera derivada o bien del criterio del signo de la segunda derivada.
Comentario 2:
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de la función en el dominio de la misma, deberemos seleccionar el menor de los mínimos locales y el mayor de los máximos locales; y, además, los valores de la frontera del dominio que puedan dar lugar a valores de función menores que el menor mínimo y mayores que el mayor máximo, respectivamente. Así, en este ejemplo, al ser $D_d = \mathbb{R}$, y no tener más que un mínimo local como extremo relativo, también es éste el mínimo absoluto de la función. Por otra parte, esta función no tiene máximos locales, y al no estar acatada superiormente, no tiene máximo absoluto.
$\square$
¿ Tiene la función $f(x)=|x|$ algún mínimo local ?
SOLUCIÓN
Recordemos que un punto se dice críto si la función no es derivable en dicho punto o bien si, siendo la función derivable en él, su derivada es cero; en este segundo caso, se denomina punto crítico estacionario.
A la vista de la gráfica de la función valor absoluto de un número real, es evidente que ésta alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, punto en el que, desde luego, también tiene un mínimo local; sin embargo, esta función no es derivable en dicho punto ( a pesar de ser continua en él ), tratándose pues, también, de un punto crítico, aunque que este mínimo local, en particular, es evidente que no será detectado mediante el procedimiento de anular la primera derivada a cero, esto es, el de encontrar los puntos estacionarios de la función.
Comentario 1:
Recordemos que para hallar los extremos relativos de una función ( máximos y mínimos locales ), deben encontrarse, primero, los puntos críticos; y, a continuación, se procederá a su clasificación, mediante los criterios del signo de la primera derivada o bien del criterio del signo de la segunda derivada.
Comentario 2:
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de la función en el dominio de la misma, deberemos seleccionar el menor de los mínimos locales y el mayor de los máximos locales; y, además, los valores de la frontera del dominio que puedan dar lugar a valores de función menores que el menor mínimo y mayores que el mayor máximo, respectivamente. Así, en este ejemplo, al ser $D_d = \mathbb{R}$, y no tener más que un mínimo local como extremo relativo, también es éste el mínimo absoluto de la función. Por otra parte, esta función no tiene máximos locales, y al no estar acatada superiormente, no tiene máximo absoluto.
$\square$
Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que ...
ENUNCIADO
Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que vienen dados por la siguiente función, $f(t)=-(t-1)^2+3$ ( tasa instantánea de variación de los ingresos ), y sus valores vienen expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo; por otra parte, la tasa instantánea de variación de los gastos de la empresa viene dada por la función $g(t)=-(t-1)^2-1$ ( expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo ) [Las unidades monetarias, así como las de tiempo, son arbitrarias ]. ¿ Cuál es el beneficio neto al cabo de $2$ unidades de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Integrando la función tasa instantánea de variación de los beneficios, que es igual a $f(t)-g(t)=-(t-1)^2+3 - (-(t-1)^2-1)=4$ ( ingreso menos coste ), entre los instantes de tiempo $0$ y $2$, obtenemos $$\int_{0}^{2}\,4\,dt=4\,\left[ t \right]_{0}^2=4\,(2-0)=8 \; \text{unidades monetarias}$$
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Una empresa genera unos ingresos por unidad de tiempo que vienen dados por la siguiente función, $f(t)=-(t-1)^2+3$ ( tasa instantánea de variación de los ingresos ), y sus valores vienen expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo; por otra parte, la tasa instantánea de variación de los gastos de la empresa viene dada por la función $g(t)=-(t-1)^2-1$ ( expresados en unidades monetarias por unidad de tiempo ) [Las unidades monetarias, así como las de tiempo, son arbitrarias ]. ¿ Cuál es el beneficio neto al cabo de $2$ unidades de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Integrando la función tasa instantánea de variación de los beneficios, que es igual a $f(t)-g(t)=-(t-1)^2+3 - (-(t-1)^2-1)=4$ ( ingreso menos coste ), entre los instantes de tiempo $0$ y $2$, obtenemos $$\int_{0}^{2}\,4\,dt=4\,\left[ t \right]_{0}^2=4\,(2-0)=8 \; \text{unidades monetarias}$$
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lunes, 1 de junio de 2015
La producción de cierta hortaliza en un invernadero
ENUNCIADO
La producción de cierta hortaliza en un invernadero, $f(x)$ ( en kilogramos ), depende de la temperatura, $x$ ( en grados centígrados ), según la expresión $f(x)=(x+1)^{2}\,(32-x)$. El dominio de definición de la función $f(x)$ es $D_f=(15\,,40) \subset \mathbb{R}$ ¿ Para qué valor de la temperatura se da la máxima producción ?
SOLUCIÓN
Busquemos, primero, los máximos locales. Imponiendo la condición de extremo relativo, $f'(x)=0$, encontramos $$-3(x-21)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_1=21 \; \text{ó} \; x_2=-1 \notin D_f$$
Como la función segunda derivada es $f''(x)=60-6x$, vemos que $f''(21) \prec 0$, y por tanto $x_1=21$ corresponde a un máximo local ( como era de esperar ), que, además, no puede ser otro que el máximo absoluto, dada la naturaleza de la función y el dominio de definición de la misma. El valor de dicho máximo ( la máxima producción ) es $f(21)=(21+1)^2\,(32-21)=5324 \;\text{kilogramos}$
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La producción de cierta hortaliza en un invernadero, $f(x)$ ( en kilogramos ), depende de la temperatura, $x$ ( en grados centígrados ), según la expresión $f(x)=(x+1)^{2}\,(32-x)$. El dominio de definición de la función $f(x)$ es $D_f=(15\,,40) \subset \mathbb{R}$ ¿ Para qué valor de la temperatura se da la máxima producción ?
SOLUCIÓN
Busquemos, primero, los máximos locales. Imponiendo la condición de extremo relativo, $f'(x)=0$, encontramos $$-3(x-21)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_1=21 \; \text{ó} \; x_2=-1 \notin D_f$$
Como la función segunda derivada es $f''(x)=60-6x$, vemos que $f''(21) \prec 0$, y por tanto $x_1=21$ corresponde a un máximo local ( como era de esperar ), que, además, no puede ser otro que el máximo absoluto, dada la naturaleza de la función y el dominio de definición de la misma. El valor de dicho máximo ( la máxima producción ) es $f(21)=(21+1)^2\,(32-21)=5324 \;\text{kilogramos}$
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Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda ...
ENUNCIADO
Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda: $f(p)=2p-10$ ( oferta ) y $g(p)=\dfrac{2800}{p}$ ( demanda), denotando por $p$ el precio de venta. Se pide:
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Calcular las coordenadas del punto de equilibrio
c) ¿ Dónde corta la gráfica de la función de oferta el eje de abscisas ? ¿ Qué significado económico tiene ese punto ?
SOLUCIÓN
a)
El dominio de existencia de sendas funciones, $f$ y $g$, ( atendiendo al significado del modelo que representan ) es $(0\,,\,+\infty)$, ya que los valores negativos de $p$ no tienen sentido, por lo tanto nos restringimos al primer cuadrante. La gráfica de cada es la siguiente:
b)
Imponiendo la condición de equilibrio $$f(p)=g(p)$$ encontramos la siguiente ecuación $$2p-10=\dfrac{2800}{p}$$ que equivale a $$p^2-5p-1400=0$$ cuya solución viene dada por $$p=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot (-1400)}}{2\cdot 1 }$$
obteniendo dos valores; uno de ellos es negativo, por lo que no es solución del problema ( no pertenece al dominio de existencia de las funciones del modelo ), y el otro es positivo: $p=40$; ésta es la abscisa del punto de equilibrio $A$ ( en la gráfica ); su ordenada es $f(40)=g(40)=70$.
c)
La raíz de la función de oferta $f(p)$ ( abscisa del punto de corte de la gráfica con el eje de abscisas ) viene dada por $$f(p)=0$$ de donde ( puento $B$ en el gráfico ) $$2p-10=0 \Rightarrow p=5$$ Para este valor del precio de venta, la oferta es nula; y, la demanda tiene un valor alto: $g(5)=\dfrac{2800}{5}=560$
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Consideremos el siguiente modelo de oferta y demanda: $f(p)=2p-10$ ( oferta ) y $g(p)=\dfrac{2800}{p}$ ( demanda), denotando por $p$ el precio de venta. Se pide:
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Calcular las coordenadas del punto de equilibrio
c) ¿ Dónde corta la gráfica de la función de oferta el eje de abscisas ? ¿ Qué significado económico tiene ese punto ?
SOLUCIÓN
a)
El dominio de existencia de sendas funciones, $f$ y $g$, ( atendiendo al significado del modelo que representan ) es $(0\,,\,+\infty)$, ya que los valores negativos de $p$ no tienen sentido, por lo tanto nos restringimos al primer cuadrante. La gráfica de cada es la siguiente:
b)
Imponiendo la condición de equilibrio $$f(p)=g(p)$$ encontramos la siguiente ecuación $$2p-10=\dfrac{2800}{p}$$ que equivale a $$p^2-5p-1400=0$$ cuya solución viene dada por $$p=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot (-1400)}}{2\cdot 1 }$$
obteniendo dos valores; uno de ellos es negativo, por lo que no es solución del problema ( no pertenece al dominio de existencia de las funciones del modelo ), y el otro es positivo: $p=40$; ésta es la abscisa del punto de equilibrio $A$ ( en la gráfica ); su ordenada es $f(40)=g(40)=70$.
c)
La raíz de la función de oferta $f(p)$ ( abscisa del punto de corte de la gráfica con el eje de abscisas ) viene dada por $$f(p)=0$$ de donde ( puento $B$ en el gráfico ) $$2p-10=0 \Rightarrow p=5$$ Para este valor del precio de venta, la oferta es nula; y, la demanda tiene un valor alto: $g(5)=\dfrac{2800}{5}=560$
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