Un ejercicio más sobre intervalos de confianza

ENUNCIADO. La masa de las mochilas escolares de los niños de quinto y sexto de primaria, medido kilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ kilogramos y desviación típica $\sigma=1,5$ kilogramos.
a) En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple ( m.a.s. ) de dichas mochilas escolares y se estimó la masa media utilizando un intervalo de confianza del $95\,\%$. La amplitud de este intervalo resultó ser de $0,49$ kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en dicha muestra.
b) Supóngase que $\mu=6$ kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de $225$ mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los $5,75$ kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de de estos cursos.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa de la mochila". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=1,5$ kilogramos. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$

El tamaño de la muestra, $n$, es desconocido, y nos proponemos determinarlo.

El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $0,49$ kilogramos

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así, $0,49=1,96\cdot \dfrac{1,5}{\sqrt{n}}$ y despejando $n$ se llega a $$n=\left( \dfrac{1,96\cdot 1,5}{0,49}\right)^2=36$$

b)
Supongamos ahora que $\mu:=6$ kilogramos y que $n:=225$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(6\,;\,1,5/\sqrt{225})$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 5,75\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$

puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $5,75 \rightarrow \dfrac{5,75-6}{1,5/\sqrt{225}}=-2,5$.

Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 5,75\}=$
  $=P\{Z \ge -2,5\}$
    $=P\{Z \le 2,5\}$ ( por la simetría con respecto al eje de ordenadas de la función $f(z)$ )
      $=F(2,5)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9938$


$\square$