Un ejercicio rutinario sobre intervalos de confianza

ENUNCIADO. El precio mensual de las clases de Pilates en una región se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y varianza $\sigma^2=49\, \text{euros}^2$. Se pide:
a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de $64$ centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de $34$ euros. Obténgase un intervalo de confianza al $99,2\,\%$ para estimar el precio medio mensual, $\mu$, de las clases de Pilates.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de $3$ euros, con una confianza del $95\,\%$


SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "precio de las clases". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=\sqrt{49}=7$ euros y $\mu$ desconocida. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$ donde el tamaño de la muestra es $n=64$ centros.

El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $$(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad [1]$$ donde $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad \quad [2]$$

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,992$, $\alpha=0,008$ y por tanto $\alpha/2=0,004$, podemos escribir: $$P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,004=0,996$$ por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=2,65$, por lo que, de [2], obtenemos $$E=2,65\cdot \dfrac{7}{\sqrt{64}}\approx 2,32\;\text{euros}$$.

Teniendo en cuenta además que $\bar{x}=34$ euros, de [1], se llega al siguiente intervalo de confianza para la estimación de $\mu$ al $99,2\,\%$ de confianza: $$(34-2,32\,;\,34+2,32)=(31,68\;;\;36,32)\,\text{euros}$$



b)
El tamaño de la muestra, $n$, es ahora desconocido, y nos proponemos determinarlo.

El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $3$ euros

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$.

Así, $E=1,96\cdot \dfrac{7}{\sqrt{n}}\prec 3\,\text{euros}$ en consecuencia $$n \succ \left( \dfrac{1,96\cdot 7}{3}\right)^2\approx 21\,\text{centros}$$


$\square$