A=\begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0& 1& 0 \\ 4&0&3\end{pmatrix} y C=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix} Se pide:
a) Obténgase el valor de k\in \mathbb{R} para que la matiz A-2\,B sea regular
b) Determínese si las matrices C y C^{t}C son inversibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas
SOLUCIÓN.
a) A-2\,B = \begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0&2 \\ 0& 2& 0 \\ 8&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2& 4 \\ -8&0&1\end{pmatrix}
luego la matriz A-2B no es regular ( no es inversible ) en el caso de que \text{det}\,(A-2\,B)=\begin{vmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2&4 \\ -8&0&1\end{vmatrix}=2k-37=0\Leftrightarrow k=\dfrac{37}{2}
Por consiguiente, la matriz A-2B es regular ( inversible ) si k toma cualquier valor distinto de \dfrac{37}{2}.
b)
C es una matriz 3\times 2 y por tanto no es cuadrada, en consecuencia no es inversible.
(C^t)_{2\times 3}\,C_{3\times 2} \rightarrow \text{matrix}\, 2\times 2; procedamos realizar el producto: C^t\,C=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 1&-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2\end{pmatrix}
Para que esta matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero. Veamos que, en efecto, lo es: \begin{vmatrix}2&1 \\ 1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3\neq 0
Calculemos pues la matriz inversa asociada a C^t\,C. Emplearemos el método de reducción Gauss-Jordan.
\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \overset{-2f_1+f_1\,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right) \overset{3f_1+f_2\,\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 6 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right)
\overset{(1/6)\,f_1 \,\rightarrow f_1\,,\,(-1/3)\,f_2 \,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4/6 & -2/6 \\ 0 & 1 & -1/3 & 2/3\end{array}\right)
luego (C^t\,C)^{-1}=\begin{pmatrix}2/3&-1/3\\-1/3&2/3\end{pmatrix}
\square
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