Álgebra lineal. Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Se consideran las siguientes matrices:
$A=\begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0& 1& 0 \\ 4&0&3\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}$ Se pide:
a) Obténgase el valor de $k\in \mathbb{R}$ para que la matiz $A-2\,B$ sea regular
b) Determínese si las matrices $C$ y $C^{t}C$ son inversibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas

SOLUCIÓN.
a) $$A-2\,B = \begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0&2 \\ 0& 2& 0 \\ 8&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2& 4 \\ -8&0&1\end{pmatrix}$$ luego la matriz $A-2B$ no es regular ( no es inversible ) en el caso de que $$\text{det}\,(A-2\,B)=\begin{vmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2&4 \\ -8&0&1\end{vmatrix}=2k-37=0\Leftrightarrow k=\dfrac{37}{2}$$ Por consiguiente, la matriz $A-2B$ es regular ( inversible ) si $k$ toma cualquier valor distinto de $\dfrac{37}{2}$.

b)
  $C$ es una matriz $3\times 2$ y por tanto no es cuadrada, en consecuencia no es inversible.

  $(C^t)_{2\times 3}\,C_{3\times 2} \rightarrow \text{matrix}\, 2\times 2$; procedamos realizar el producto: $$C^t\,C=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 1&-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2\end{pmatrix}$$
Para que esta matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero. Veamos que, en efecto, lo es: $$\begin{vmatrix}2&1 \\ 1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3\neq 0$$
Calculemos pues la matriz inversa asociada a $C^t\,C$. Emplearemos el método de reducción Gauss-Jordan.
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \overset{-2f_1+f_1\,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right) \overset{3f_1+f_2\,\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 6 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right)$
$ \overset{(1/6)\,f_1 \,\rightarrow f_1\,,\,(-1/3)\,f_2 \,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4/6 & -2/6 \\ 0 & 1 & -1/3 & 2/3\end{array}\right)$
luego $$(C^t\,C)^{-1}=\begin{pmatrix}2/3&-1/3\\-1/3&2/3\end{pmatrix}$$
$\square$