Un ejercicio de cálculo de probabilidades ( teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes )

ENUNCIADO. De un estudio realizado en una región, se deduce que la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consoloas de videojuegos más tiempo del recomendado por los especialistas es $0,60$. Entre estos niños, la probabilidad de fracaso escolar es $0,30$ mientras que, si no juegan más tiempo del recomendado, la probabilidad de fracaso escolar es $0,15$. Seleccionado un niño al azar de esta región, se pide:
a) Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar
b) Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $\bar{R}$ al suceso dedicar más tiempo del recomendado a los videojuegos"; por $R$, al suceso "dedicar un tiempo que no exceda del recomendado a los videojuegos", y por $F$ al suceso "presentar problemas de fracaso escolar". Entonces, teniendo en cuenta que $P(\bar{R})=0,60$, $P(R)=1-P(\bar{R})=0,40$; $P(F|\bar{R})=0,30$ y $P(F|R)=0,15$:



a) Por el teorema de la probabilidad total, $P(F)=P(F|\bar{R})\,P(\bar{R})+P(F|R)\,P(R)=0,30\cdot 0,60+0,15\cdot 0,40=0,24$

b) Por el teorema de Bayes, $P(R|F)=\dfrac{P(F|R)\,P(R)}{P(F)}=\dfrac{0,15 \cdot 0,40}{0,24}=\dfrac{0,06}{0,24}=0,25$

$\square$