Ejercicio A.1 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$, se pide:
a) Los valores del parámetro $a$ para que se verifique la igualdad $A^2-5A=-I$, siendo $I$ la matriz identidad
b) La matriz inversa $A^{-1}$ para $a:=-1$

SOLUCIÓN.
a) Según el enunciado, deberá cumplirse que

$\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}-5\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
luego

$\begin{pmatrix}5a^2+4 & 25\,a \\ 5\,a & 5\,a^2+9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10 & -25\,a \\ -5\,a & -15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$
esto es

$\begin{pmatrix}5a^2-6 & 0 \\ 0 & 5\,a^2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \Leftrightarrow 5\,a^2-6=-1 \Leftrightarrow 5\,a^2=5 \Leftrightarrow a=\pm1$
b) Para $a:=-1$ se tiene que $A=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 & \end{pmatrix}$ y $\text{det}(A)=3\cdot 2- (-5)\cdot (-1)=1 \neq 0$, luego hay una matriz inversa $A^{-1}$ asociada a $A$ ( que, como se sabe, es única)
Procedamos a calcular $A^{-1}$ por el método de Gauss-Jordan:
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+2\cdot f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+5\cdot f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad$

$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 6 & 10 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{\dfrac{1}{2}\cdot f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \Rightarrow \quad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$

Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, como debe ser.

$\square$