Un ejercicio sobre sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real $m$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\x&+&my&-&z&=&0\\ x&-&y&-&mz&=&0\end{matrix}\right.$$
a) Determínense los valores del parámetro real $m$ para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial $x=y=z=0$
b) Resuélvase el sistema para $m=1$

SOLUCIÓN.

a) Un sistema homogéneo no puede ser incompatible, ya que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ( con la columna de los términos independientes, con ceros en todos sus elementos ) tienen el mismo rango. Ahora bien, puede suceder que dicho rango, $r$, sea igual al número de incógnitas $n$, en cuyo caso la solución es única ( solución trivial $x=y=\ldots=0$ ); o bien puede suceder que $r \prec n$, con lo cual el sistema es c. indeterminado, y la solución consta de infinitas $n$-tuplas, con una determinada estructura algebraica. Veamos cuál de los dos casos se da en función de los valores que tome $m$.

Escalonemos la matriz por reducción de Gauss para obtener una matriz equivalente en rango en la que se pueda contabilizar el número de filas no indenticamente nulas:
$\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m\end{pmatrix} \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\sim} \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-m\end{pmatrix}$ Así pues:

i) Si $m\notin \{-1,1\}$, $r=3=n$, con lo cual el sistema es compatible determinado, y la solución es única ( la trivial ): $x=y=z=0$

ii) Si $m\in \{-1,1\}$, $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-4=3-2=1$ variable secundaria, constando la solución de infinitas ternas. Y este es el caso por el que estamos interesados, de acuerdo con el enunciado.

b) Al ser $m:=1$, estamos en el caso (ii) y por tanto el sistema es compatible indeterminado. La matriz de los coeficientes es ahora: $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$, que reducida por Gauss queda $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, por lo que un sistema equivalente en solución es: $\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\&&2y&&&=&0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0\\&&y&&&=&0\end{matrix}\right. \overset{z\overset{.}{=}\lambda}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda\\&&y&&&=&0\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R} $
La solución viene dada pues por las infinitas ternas $$\{(x,y,z)=\lambda\,(1,0,1):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$