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jueves, 13 de junio de 2019

Un ejercicio sobre sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real m: \left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\x&+&my&-&z&=&0\\ x&-&y&-&mz&=&0\end{matrix}\right.
a) Determínense los valores del parámetro real m para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial x=y=z=0
b) Resuélvase el sistema para m=1

SOLUCIÓN.

a) Un sistema homogéneo no puede ser incompatible, ya que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ( con la columna de los términos independientes, con ceros en todos sus elementos ) tienen el mismo rango. Ahora bien, puede suceder que dicho rango, r, sea igual al número de incógnitas n, en cuyo caso la solución es única ( solución trivial x=y=\ldots=0 ); o bien puede suceder que r \prec n, con lo cual el sistema es c. indeterminado, y la solución consta de infinitas n-tuplas, con una determinada estructura algebraica. Veamos cuál de los dos casos se da en función de los valores que tome m.

Escalonemos la matriz por reducción de Gauss para obtener una matriz equivalente en rango en la que se pueda contabilizar el número de filas no indenticamente nulas:
\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m\end{pmatrix} \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\sim} \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-m\end{pmatrix} Así pues:

i) Si m\notin \{-1,1\}, r=3=n, con lo cual el sistema es compatible determinado, y la solución es única ( la trivial ): x=y=z=0

ii) Si m\in \{-1,1\}, r=2 \prec n=3, luego el sistema es compatible indeterminado con n-4=3-2=1 variable secundaria, constando la solución de infinitas ternas. Y este es el caso por el que estamos interesados, de acuerdo con el enunciado.

b) Al ser m:=1, estamos en el caso (ii) y por tanto el sistema es compatible indeterminado. La matriz de los coeficientes es ahora: \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}, que reducida por Gauss queda \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, por lo que un sistema equivalente en solución es: \left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\&&2y&&&=&0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0\\&&y&&&=&0\end{matrix}\right. \overset{z\overset{.}{=}\lambda}{\sim}
\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda\\&&y&&&=&0\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R}
La solución viene dada pues por las infinitas ternas \{(x,y,z)=\lambda\,(1,0,1):\lambda \in \mathbb{R}\}
\square

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