Un ejercicio de análisis de funciones y de aplicaciones geométricas de la derivada de una función en un punto

ENUNCIADO. Se considera la función $$f(x)=\dfrac{8}{x^2+4}$$
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese
b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=2$

SOLUCIÓN.
a) Para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, proporciona mucha información la posición de los extremos relativos, así como la naturaleza de los mismos ( máximos/mínimos ... ). La condición necesaria para encontrar extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=\left( 8\,(x^2+4)^{-1}\right)'=-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}$$ e igualando a $0$, $$-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}=0 \Leftrightarrow x^*=0$$ así que la función tiene un sólo extremos relativo. Observemos que $f'(-1\prec 0) \succ 0$ y $f'(1\succ 0) \prec 0$, razón por la cual $x^*=0$ es la abscisa de un máximo relativo; por otra parte, $\text{Dom}\,f(x)=(-\infty,+\infty)$. De todo ello deduciomos que hay un único intervalo de crecimiento, $I^{\uparrow}=(-\infty,0)$, y un único intervalo de decrecimiento, $I^{\downarrow}=(0,+\infty)$

No hay asíntotas verticales, puesto que no existe ningún número real $k$ tal que $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,k}\,f(x)=\pm\,\infty$.

Veamos ahora si la función tiene alguna asíntota horizontal: $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,f(x)= \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,\dfrac{8}{x^2+4}=\dfrac{8}{\infty}=0$, en consecuencia la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal cuya ecuación es $y=0$

b) Consideremos la ecuación de una recta tangente en un punto genérico: $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$, donde $m$ es el valor de la derivada de la función $f'(x)$ en el punto de abscisa $x$ y $k$ es la ordenada en el origen de dicha recta. Si particularizamos en $x:=2$, sabemos que:

i) $m=f'(2)$ luego $m=-\dfrac{16\cdot 2}{(2^2+4)^2}=-\dfrac{1}{2}$, con lo cual $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+k$

ii) Teniendo en cuenta ahora que $f(2)=\left( -\dfrac{1}{2}\,x+k \right)_{x:=2}$ se tiene que $\dfrac{8}{2^2+4}=-\dfrac{1}{2}\cdot 2+k \Rightarrow k=2$

En consecuencia, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=2$ es $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+2$

$\square$