Un ejercicio rutinario de análisis de funciones que incluye la interpretación del primer teorema fundamental del cálculo, y la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad convexidad.

ENUNCIADO. La derivada de una función real de variable real, $f(x)$, viene dada por $$f(x)=2\,x^2-4\,x-6$$
a) Obténgase la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0,3)$
b) Determínense los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y determínense los intervalos de concavidad y convexidad de esta función

SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\displaystyle \,\int\,f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+C$ y como $f(0)=3$, $3=\dfrac{2}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2-6\cdot 0+C \Rightarrow C=3$, por consiguiente: $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+3$$

b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $2\,x^2-4\,x-6=0$, esto es $$x^2-2\,x-3=0 \Leftrightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$

Para ver si se trata de máximos o mínimos, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada. La segunda derivada de $f(x)$ es $f''(x)=4x-4$.

Entonces, como $f''(-1)=4\cdot (-1)-4=-8\prec 0$, tenemos un máximo relativo en $x_{1}^{*}=-1$, y su ordenada es $y_{1}^*=f(-1)=\dfrac{19}{3}$. Y por otra parte, $f''(3)=4\cdot 3-4=8\succ 0$, tenemos un mínimo relativo en $x_{2}^{*}=3$, y su ordenada es $y_{2}^*=f(3)=-15$

Al objeto de determinar los intervalos de concavidad y convexidad, calculemos los puntos de inflexión, que son las abscisas en las que $f''(x)=0$, esto es $4x-4=0\Leftrightarrow x=1$.

Para valores de $x$ menores que $1$ el signo de la segunda derivada es negativo, y es positivo para valores de $x$ mayores que $1$; en efecto, comprobémoslo: $f''(0\prec 1)=4\cdot 0-4 \prec 0$ y $f''(2\succ 1)=4\cdot 2-4 \succ 0$. Así pues tenemos la función es cóncava en $(-\infty,1)$ y convexa en $(1,+\infty)$ [M. Spivak: Calculus]

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