Un ejercicio de programación lineal

ENUNCIADO. Una voluntaria quiere preparar un helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva $1$ hora de trabajo y la elaboración de $1$ litro de horchata $2$ horas. Como para preparar la horchata no se necesita leche, sabe que puede preparar hasta $15$ litros de helado con la leche de que dispone.
Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos $10$ litros de helado y horchata, en un máximo de $20$ horas. Se pide:
a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores
b) Si el beneficio por litro de de $25$ euros para el helado y de $12$ euros para la horchata, obténgase la cantidad de producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $h$ y $r$ la cantidad ( en litros ) de horchata y de helado, respectivamente. Según las restricciones que se indican en el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de desigualdades, que determinan la región factible, $\mathcal{R}$ en la que habrá que encontrar la solución que se pide en el siguiente apartado.

$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}h+2r\prec 20 & (1) \\ h\le 15 & (2) \\ h+r\ge 10 & (3) \\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0& (5) \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}h\prec -2r+20 & (1)\\ h\le 15 & (2) \\ h\ge -r+10 & (3)\\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0 & (5)\end{matrix}\right.$$ Las rectas sobre las que se encuentran los lados de esta región convexa del plano son: $$\left\{ \begin{matrix} r_1 \equiv & h &= & -2r+20 \\ r_2 \equiv & h &=& 15 \\ r_3 \equiv & h&=& -r+10 \\ r_4 \equiv& h& =& 0 \\ r_5 \equiv& r& =& 0 \end{matrix} \right.$$

La región que se obtiene se muetra en la siguiente figura ( tomamos $h$ como variable dependiente y $r$ como variable independiente ):

b)
La función objetivo es $f(h,r)=25h+12r$, luego haciendo $f(h,k():=k$, y despejando $h$, podemos escribir la ecuación de una recta arbitraria del haz de rectas paralelas que barren la región factible: $$h=-\dfrac{12}{25}\,r+\dfrac{k}{25}$$ por lo que, cuando la ordenada en el origen $\dfrac{k}{25}$ es màxima, se alcanza el valor máximo del beneficio para el correspondiente valor de $k_[E]$. Ésto ocurre cuando seleccionamos la recta del haz que pasa por el punto $E(2.5\,,\,15)$ tal como se aprecia en la siguiente figura:

El valor máximo pedido para los beneficios se obtendrá fabricando pues $h=12$ litros de helado y $r=2,5$ litros de orchata, su valor sera $f(h=15,r=2,5)=25\cdot 15+12\cdot 2,5=405$ euros.
$\square$