Otro ejercicio de análisis de funciones

ENUNCIADO. Se consdiera la función real de variable real, $f(x)$, que se define de la siguiente manera:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^x+k & \text{si} & x\le 0 \\ \\ 1-x^2 & \text{si} & 0\prec x \le 3 \\ \\ \dfrac{1}{x-3} & \text{si} & x \succ 3\end{matrix}\right.$$
a) Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de $k$
b) Considerando $k=0$, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=-1$ y $x=1$

SOLUCIÓN.
a) La función $f(x)$ así definida puede presentar problemas de continuidad en $x=0$ y en $x=3$. Vamos a estudiar qué ocurre en estos puntos. En los demás puntos, la función es continua.

Veamos para qué valores del parámetro $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$. El límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:

$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(e^x+k)=e^0+k=1+k$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(1-x^2)=1-0=1$$
luego el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si $k+1=1$, esto es, si $k=0$; y, en tal caso, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)=1$

Por otra parte, para que la función sea continua en $x=0$, el valor del límite ha de ser igual al valor de la función en $x=0$; y así es, pues según la definición, con $k=0$, $f(0)=e^0+0=1$

En consecuencia, $f(x)$ es continua en $x=0$ si $k=0$.

Examinemos ahora la continuidad de la función $f(x)$ en $x=3$, que, según la definición, no depende ahora de $k$ ya que dicho parámetro sólo aparece en la definición del primer tramo, y no en la de los dos últimos. Recordemos que el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:

$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,(1-x^2)=1-3^2=-8$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,\dfrac{1}{x-3}=+\infty$$

Como el límite lateral por la derecha diverge, la función no es continua en $x=3$


b) Siendo $k:=0$, calculemos ahora el área pedida:
$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{-1}^{0}\,(e^x+0)\,dx\,\right|+\left|\int_{0}^{1}\,(1-x^2)\,dx\,\right|=$
  $\displaystyle =\left| \left[ e^x \right]_{-1}^{0} \right|+\left| \left[x-\dfrac{1}{3}\,x^3\right]_{0}^{1}\right|$
    $\displaystyle =\left| e^0-e^{-1} \right|+\left| \left(1-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3\right) - \left(0-\dfrac{1}{3}\cdot 0\right)\right|$
      $=1-\dfrac{1}{e}+\dfrac{2}{3}$
        $=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{e}\,(\text{unidades de longitud})^2$
$\square$