Probabilidad y estadística. Intervalos de confianza

ENUNCIADO. El número de descargas por hora de cierta aplicación para móviles, se puede aproximar por una variable
aleatoria de distribución normal de media $\mu$ descargas y desviación típica $\sigma = 20$ descargas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $40$ horas, obteniéndose una media muestral de $99,5$ descargas.
Determínese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$.
b) Supóngase que $\mu = 100$ descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple (m.a.s.)
de $10$ horas, la media muestral, $\bar{X}$, esté entre $100$ y $110$ descargas.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de descargas por hora". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=20$ descargas. La media de la muestral es $\bar{x}=99,5$ descargas, siendo el tamaño de la muestra $n=40$. El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y sabemos que se calcula de la forma $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así pues $E=1,96\cdot \dfrac{20}{\sqrt{40}} \approx 6,2$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(99'5-6,2\,,\,99'5+6'2)$, esto es $\mu$ está en el intervalo $I=(93'3\,,\,105'7)$

b)
Supongamos ahora que $\mu:=100$ descargas y que $n:=10$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(100\,,\,20/\sqrt{10})$. Entonces, $P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $100 \rightarrow \dfrac{100-100}{20/\sqrt{10}}=0$ y $100 \rightarrow \dfrac{110-100}{20/\sqrt{10}} \approx 1,58$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\}=P\{ Z \le 1,58\}-P\{ Z \le 0\}=$
    $=F(1,58)-F(0)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9429-0,5 = 0,4429$

$\square$