Cálculo de probabilidades. Teorema de Bayes

ENUNCIADO. En una comunidad de vecinos en el $70\,\%$ de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el $30\,\%$ restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de $0,8$ y la probabilidad de que lo haga una mujer es $0,7$. Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.

SOLUCIÓN. Denotemos por $H$ al suceso "elegir unbuzón en el que figure el nombre de una persona de género masculino en primer lugar",y por $M$, "elegir un buzón en el que aparezca una persona de género femenino en primer lugar", y por $T$ al suceso "elegir una persona que trabaje"
Del enunciado, sabemos que $P(H)=0,7$, $P(M)=0,3$; $P(T|H)=0'8$, y $P(T|M)=0'7$ . Entonces:

a) $P(T)=P((T \cap H) \cup ( (T \cap M))$
      $=P(T\cap H) +P(T \cap M)$     ( $T \cap H$ y $T \cap M$ son sucesos incompatibles )
      $=P(T|H)P(H)+P(T|M)P(M)$     ( por la fórmula de la probabilidad condicionada )
        $=0,8\cdot 0,7+0,7\cdot 0,3$
          $=0,77$

b) Por el teorema de Bayes, podemos escribir:
$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)P(H)}{P(T)}$
    $=\dfrac{0,8\cdot 0,7}{0,77}\approx 0,7273$

$\square$