Probabilidad y estadística. Intervalos de confiaza

ENUNCIADO. La empresa Dulce.SA produce sobres de azúcar cuyo peso en gramos se puede aproximar por una variable
aleatoria $X$ con distribución normal con media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 0,5$ gramos.
a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo
cometido en la estimación de la media sea como mucho de $0,25$ gramos con un nivel de confianza del $95\,\%$.
b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $25$ sobres, la media muestral, $\bar{X}$,
pese más de $12,25$ gramos, sabiendo que $\mu = 12$ gramos.

SOLUCIÓN.
a)
$X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,0'5)$ y, de lo explicado en clase, sabemos que el error en la estimación de $\mu$ es $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \quad (1)$$.

Procedemos a calcular el valor de la abscisa critica $z_{\alpha/2}$; como $1-\alpha=0,95$, tenemos que $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, con lo cual $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=0,025 \Rightarrow P\{Z \le z_{\alpha/2}\}\overset{\text{def}}{=}F(z_{\alpha/2})=1-0,025=0,975$, y, con este valor, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, $N(0,1)$, encontramos que $z_{\alpha/2}=1,96$.

De (1), vemos que si $E_{\text{máx}}:=0,25$,entonces $$0,25=1,96 \cdot \dfrac{0,5}{\sqrt{n_{\text{mín}}}}$$ con lo cual $$n_{\text{mín}}=\left( \dfrac{1,96 \cdot 0,5}{0,25} \right)^2 \approx 16$$

b)
Supongamos ahora que $\mu:=12$ gramos y que $n:=25$ sobres ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(12\,,\,0'5/\sqrt{25})$ es decir, es $N(12\,,\,0'1)$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 12,25\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $112,25 \rightarrow \dfrac{12-12,25}{0,5/\sqrt{25}}=-2,5$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 12,25 \}=P\{ Z \ge -2,5\}=1-P\{ Z \le -2,5\}=$
    $=1-( P\{Z \ge 2,5\})=1-(1-P\{Z \le 2,5\})=$
    $=P\{Z \le 2,5\}=F(2,5)=0,9938$

$\square$