aleatoria X con distribución normal con media \mu gramos y desviación típica \sigma = 0,5 gramos.
a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo
cometido en la estimación de la media sea como mucho de 0,25 gramos con un nivel de confianza del 95\,\%.
b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25 sobres, la media muestral, \bar{X},
pese más de 12,25 gramos, sabiendo que \mu = 12 gramos.
SOLUCIÓN.
a)
X sigue una distribución normal N(\mu\,,\,0'5) y, de lo explicado en clase, sabemos que el error en la estimación de \mu es E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \quad (1)
.
Procedemos a calcular el valor de la abscisa critica z_{\alpha/2}; como 1-\alpha=0,95, tenemos que \alpha=0,05 y por tanto \alpha/2=0,025, con lo cual P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=0,025 \Rightarrow P\{Z \le z_{\alpha/2}\}\overset{\text{def}}{=}F(z_{\alpha/2})=1-0,025=0,975, y, con este valor, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, F(z), N(0,1), encontramos que z_{\alpha/2}=1,96.
De (1), vemos que si E_{\text{máx}}:=0,25,entonces 0,25=1,96 \cdot \dfrac{0,5}{\sqrt{n_{\text{mín}}}}
con lo cual n_{\text{mín}}=\left( \dfrac{1,96 \cdot 0,5}{0,25} \right)^2 \approx 16
b)
Supongamos ahora que \mu:=12 gramos y que n:=25 sobres ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que \bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n}), esto es N(12\,,\,0'5/\sqrt{25}) es decir, es N(12\,,\,0'1). Entonces, P\{\bar{X} \ge 12,25\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1) puesto que, al tipificar la variable aleatoria \bar{X} mediante la transformación Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}, se obtiene: 112,25 \rightarrow \dfrac{12-12,25}{0,5/\sqrt{25}}=-2,5. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
P\{\bar{X} \ge 12,25 \}=P\{ Z \ge -2,5\}=1-P\{ Z \le -2,5\}=
=1-( P\{Z \ge 2,5\})=1-(1-P\{Z \le 2,5\})=
=P\{Z \le 2,5\}=F(2,5)=0,9938
\square
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