a) Calcúlense el dominio de definición y las asíntotas de f(x)
b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
SOLUCIÓN.
a)
Si x=-1, se anula el denominador ( y no el numerador ), luego \text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{-1\}, y, además podemos afirmar que la función tiene una asíntota vertical: \text{a.v.}\equiv x=-1, puesto que \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty
Vaeamos ahora si hay asíntotas oblicuas, \text{a.o.}\equiv y=mx+k \displaystyle m=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}=1
\displaystyle k=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-1\cdot x = \lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=-2
por tanto \text{a.o.}\equiv y=x-2
Nota: No hay asíntotas horizantales, pues no hemos encontrado valores nulos para m
b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a determinar primero los extremos relativos, pues éstos nos serviran de guía para interpretar el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.
La condición necesaria para que un valor de x corresponda a la abscisa de un extremo relativo es f'(x)=0
y puede comprobarse -- por economía de espacio, omito aquí los cálculos -- que f'(x)=\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}
así que \dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2\,(x+3)=0 \Rightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ 0\end{matrix}\right.
Veamos a qué tipo de extremo relativo corresponde cada una de las abscisas calculadas. Emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en esos puntos. Calculando la función segunda derivada, encontramos f''(x)=\dfrac{6x}{(x+1)^4}
Así pues, como f(-3)\prec 0, deducimos que x^{*}=-3 es la abscisa de un máximo local. Por otra parte f''(0)=0 y por tanto el criterio referido no nos permite decidir la naturaleza del extremo relativo en x* =0, por lo que recurrimos a calcular el signo de la primera derivada a ambos lados ( en puntos cercanos ) de dicha abscisa, f'(0^{-}) y f'(0^+); así, encontramos que, por ejemplo en x=-1/2 \prec 0, f'(-1/2) \succ 0, y a la derecha de x^*=0, pongamos que en x=1 ( 1 \succ 0 ), f'(1) \succ 0; ésto es, el signo de la primera derivada no cambia, luego deducimos que la función es creciente a ambos lados de x^*=0, por lo que sólo puede tratarse de un punto de inflexión con derivada primera nula.
De todo ello se desprende que la función es creciente en los siguientes intervalos: I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,3) y I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,+\infty), y es decreciente en el intervalo I_{3}^{\downarrow}=(-3\,,\,-1)
Nota. Aunque no se pida, es ilustrativo bosquejar la gráfica de la función, tal como aparece en la siguiente figura:
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios