Álgebra lineal. Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}$
a) Compruébese que $B$ es la matriz inversa de $A$
b) Calcúlese la matriz $X$ tal que $AX=B$

SOLUCIÓN.
a) Veamos si $AB=BA=I$. Bastará con comprobar que $AB=I$. En efecto,
$AB=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 3+1\cdot (-8)&3\cdot(-1)+1\cdot 3\\8\cdot 3+3\cdot (-8)&8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Así pues $A^{-1}=B$

b)
$AX=B$
  $A^{-1}AX=A^{-1}B$
    $IX=A^{-1}B$
      $X=A^{-1}B$
        $X\overset{\text{(apartado a)}}{=}BB=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=$

          $=\begin{pmatrix}3\cdot 3+(-1)\cdot (-8)&3\cdot (-1)+(-1)\cdot 3\\-8\cdot 3+3\cdot (-8)&-8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-6\\-48&17\end{pmatrix}$
$\square$