Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real dada por $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{x+2}{x-1}&\text{si}&x\le 2 \\ \\\dfrac{3x^2-2x}{x+2}&\text{si}&x\succ 2 \end{matrix}\right.$$
a) Estúdiese si $f(x)$ es continua en $x=2$
b) Calcúlese la función derivada de $f(x)$ para $x\prec 2$

SOLUCIÓN
a)
Calculemos los límites laterales en $x=2$:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{2+2}{2-1}=4$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,\dfrac{3x^2-2x}{x+2}=\dfrac{3\cdot 2^2-2\cdot 2}{2+2}=2$$
y al no coincidir su valor, no existe el límite global de $f(x)$ en $x=2$, luego la función no es continua en $x=2$

b)
Para $x \prec 2$ la función derivada es

$f'(x)=\left( \dfrac{x+2}{x-1} \right)'=\dfrac{(x+2)'(x-1)-(x-1)'(x+2)}{(x-1)^2}=$

    $\dfrac{1\cdot (x-1)-1\cdot (x+2)}{(x-1)^2}=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$

$\square$