Análisis de funciones. Cálculo integral. Recta tangente.

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$$
a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $Ox$
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$

SOLUCIÓN. a) Las abscisas de los puntos de corte del eje $Ox\equiv y=0$ y la gráfica de la función $f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$, esto es, son las raíces de la función $f(x)$. Procedemos a encontrarlas: De $2\,x^3-5\,x^2+3\,x=0$, sacando factor común de $x$, podemos escribir $$x\,(2\,x^2-5\,x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 2\,x^2-5\,x+3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 \\ x=3/2\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$ El área pedida se calcula de la forma $$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx\right|$$

La familia de primitivas de $f(x)$ es $\displaystyle \int\,f(x)=\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2+C$ luego una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)\overset{C:=0}{=}\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$. Entonces, $\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right||F(1)-F(0)|=|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{3}$
y

$\displaystyle \left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx=\right|F(3/2)-F(1)|=$
    $=|\dfrac{1}{2}\cdot (3/2)^4-\dfrac{5}{3}\cdot (3/2)^3+\dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^2-1/3|=\dfrac{5}{96}$

Así pues, de (1), llegamos al resultado pedido: $$\text{Área}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{96}=\dfrac{37}{96}\,\text{unidades arbitrarias de área}$$

b)
La recta tangente tiene por ecuación $\text{r.t.}\equiv y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente en el punto de abscisa $x=0$ y $k$ es la ordenada en el origen. Procedemos a calcular el valor de $m$; $m\overset{\text{def}}{=}f'(0)$ y como la función derivada es $f'(x)=6x^2-10x+3$ tenemos que $m=3$. Por otra parte, la ordenada en el origen, $k$, se obtiene teniendo en cuenta que $$f(0)=y|_{x=0}^{\text{recta tangente}}$$ luego $$0=m\cdot 0+k \Rightarrow k=0$$ con lo cual ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente en el punto dado ( de abscisa $x=0$ ) $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x+0$$ esto es $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x$$
$\square$