ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a: \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right.
a) Discútase en función de los valores del parámetro a
b) Resuélvase para a=3
SOLUICÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss:
\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right. \overset{-e_1+e_3 \rightarrow e_3\,,\,-a\,e_3+e_2 \rightarrow e_2}{\sim}
\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ x&+&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&(1-a)\,y&&&=&a \end{matrix}\right. \overset{-e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}
\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&&&z&=&a(a+1) \end{matrix}\right.
Si a:=1 las ecuaciones segunda y tercera son incompatibles:
\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&&&z&=&1 \\ &&&&z&=&2 \end{matrix}\right.
luego para a=1 el sistema es incompatible, puesto que las ecuaciones (2) y (3) se contradicen. Para cualquier otro valor de a ( que no sea 1 ), el sistema es compatible determinado, pues el rango del sistema es igual a 3 ( el sistema reducido consta de 3 ecuaciones no indenticamente nulas ) y éste es igual al número de incógnitas ( teorema de Rouché-Fröbenius ).
b)
Siendo a:=3\neq 1, según el resultado de la discusión el sistema es compatible determinado. Sustituyendo a por 3, un sistema equivalente ( reducido por Gauss) es \left\{\begin{matrix}x&+&3\,y&+&z&=&1 \\ &&2\,y&+&z&=&9 \\ &&&&z&=&12 \end{matrix}\right. Sustituyendo el valor de z ( z=12 ) en la segunda ecuación y despejando y obtenemos y=-\dfrac{3}{2}; y, sustituyendo los valores encontrados para z e y en la primera ecuación, y despejando x, encontramos x=-\dfrac{13}{2}
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