Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: $$\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=3$

SOLUICÓN.

a)
Reduciendo el sistema por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right. \overset{-e_1+e_3 \rightarrow e_3\,,\,-a\,e_3+e_2 \rightarrow e_2}{\sim} $

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ x&+&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&(1-a)\,y&&&=&a \end{matrix}\right. \overset{-e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&&&z&=&a(a+1) \end{matrix}\right. $

Si $a:=1$ las ecuaciones segunda y tercera son incompatibles:

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&&&z&=&1 \\ &&&&z&=&2 \end{matrix}\right.$

luego para $a=1$ el sistema es incompatible, puesto que las ecuaciones (2) y (3) se contradicen. Para cualquier otro valor de $a$ ( que no sea $1$ ), el sistema es compatible determinado, pues el rango del sistema es igual a $3$ ( el sistema reducido consta de $3$ ecuaciones no indenticamente nulas ) y éste es igual al número de incógnitas ( teorema de Rouché-Fröbenius ).

b)
Siendo $a:=3\neq 1$, según el resultado de la discusión el sistema es compatible determinado. Sustituyendo $a$ por $3$, un sistema equivalente ( reducido por Gauss) es $$\left\{\begin{matrix}x&+&3\,y&+&z&=&1 \\ &&2\,y&+&z&=&9 \\ &&&&z&=&12 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $z$ ( $z=12$ ) en la segunda ecuación y despejando $y$ obtenemos $y=-\dfrac{3}{2}$; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$, encontramos $x=-\dfrac{13}{2}$

$\square$