Programación lineal

ENUNCIADO. Sea $S$ la región del plano definida por: $x+y\le 50$, $2x+y\le 80$, $x\ge 0$, $y\ge 0$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténgase el valor máximo de la función $f(x,y)=5x+4y$ en la región $S$, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo

SOLUCIÓN.

a) La región factible ( región convexa del plano ) de este ejercicio de programación lineal viene dada por $$S \equiv \left\{\begin{matrix}x+y\le 50 \\ 2x+y\le 80 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} y \le -x+50 & (1)\\ y \le -2x+80 & (2)\\ x\ge 0 & (3) \\ y\ge 0 & (4)\end{matrix}\right.$$ luego las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de la misma son $$\left\{\begin{matrix}r_1 \equiv y = -x+50 \\r_2 \equiv y = -2x+80 \\ r_3 \equiv x = 0 \\ r_4 \equiv y = 0 \end{matrix}\right.$$

Interpretando el sentido de las desigualdades, podemos representar dicha región factible ( coloreada en la figura )

Nota: Determinamos las coordenadas del punto $Q$ de la siguiente manera: como $Q = r_1 \cap r_2$, $Q \equiv \left\{\begin{matrix}y=-x+50 \\ y=-2x+80\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=30 \\ y=20\end{matrix}\right.$ con lo cual obtenemos $Q(30,20)$. Por otra parte, el punto $P$ es el punto de corte de la recta $r_1$ con el eje $Oy$, luego su ordenada en el origen es $(-x+50)|_{x=0}=50$ con lo cual obtenemos $P(0,50)$; y el punto $R$ es el punto de corte de la recta $r_2$ con el eje $Ox$, por tanto, su raíz es la solución de la ecuación $0=-2x+80$, esto es, $x=40$, en consecuencia obtenemos $R(40,0)$. En cuanto al punto $O$ es, evidentemente, el punto de intersección de $r_3$ y $r_4$, y, desde luego es $O(0,0)$

En la tabla que aparece abajo, representamos los valores de la función objetivo ( la recta de color rosa, en trazo grueso ) es la recta de la familia de rectas de la función objetivo que da el máximo valor de la función objetivo, como puede verse también en la tabla de valores que detallamos a continuación:

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vértice  |   x     |   y    |      f(x,y) = 5x+4y
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 O(0,0)  |   0     |   0    |      f(0,0)  =   0
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 P(0,50) |   0     |  50    |      f(0,50) = 200
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 Q(30,20)|  30     |  20    |      f(30,20)= 230 
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 R(40,0) |  40     |   0    |      f(40,0) = 200
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$\square$