Cálculo de probabilidades. Teorema de Bayes

ENUNCIADO. En una agencia de viajes se ha observado que el $75\,\%$ de los clientes acude buscando un billete de transporte, el $80\%$ buscando una reserva de hotel. Se ha observado además que el $65\,\%$ busca las dos cosas. Elegido un cliente de dicha agencia al azar, calcúlese la probabilidad de que:

a) Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.
b) Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.

SOLUCIÓN. Denotemos por $T$ al suceso "elegir un cliente que busca billete de transporte",y por $H$, "elegir un cliente que busca reserva de hotel"
Del enunciado, sabemos que $P(T)=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$, $P(H)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$ y $P(H \cap T)=\dfrac{65}{100}=\dfrac{13}{20}$. Entonces:

a) $P(H \cup T)\overset{\text{fórmula de inclusión-exclusión}}{=}P(H)+P(T)-P(H \cap T)$
      $=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{13}{20}$
        $=\dfrac{9}{10}=0,9$

b) $P(T|H)\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(T \cap H}{P(H)}=\dfrac{P(H \cap T}{P(H)}=\dfrac{13/20}{4/5}=\dfrac{13}{60}=0,8125$
$\square$