ENUNCIADO. El número de descargas por hora de cierta aplicación para móviles, se puede aproximar por una variable
aleatoria de distribución normal de media $\mu$ descargas y desviación típica $\sigma = 20$ descargas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $40$ horas, obteniéndose una media muestral de $99,5$ descargas.
Determínese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$.
b) Supóngase que $\mu = 100$ descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple (m.a.s.)
de $10$ horas, la media muestral, $\bar{X}$, esté entre $100$ y $110$ descargas.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de descargas por hora". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=20$ descargas. La media de la muestral es $\bar{x}=99,5$ descargas, siendo el tamaño de la muestra $n=40$. El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y sabemos que se calcula de la forma $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así pues $E=1,96\cdot \dfrac{20}{\sqrt{40}} \approx 6,2$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(99'5-6,2\,,\,99'5+6'2)$, esto es $\mu$ está en el intervalo $I=(93'3\,,\,105'7)$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=100$ descargas y que $n:=10$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(100\,,\,20/\sqrt{10})$. Entonces, $P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $100 \rightarrow \dfrac{100-100}{20/\sqrt{10}}=0$ y $100 \rightarrow \dfrac{110-100}{20/\sqrt{10}} \approx 1,58$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\}=P\{ Z \le 1,58\}-P\{ Z \le 0\}=$
$=F(1,58)-F(0)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9429-0,5 = 0,4429$
$\square$
sábado, 9 de junio de 2018
Cálculo de probabilidades. Teorema de Bayes
ENUNCIADO. En una comunidad de vecinos en el $70\,\%$ de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el $30\,\%$ restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de $0,8$ y la probabilidad de que lo haga una mujer es $0,7$. Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.
SOLUCIÓN. Denotemos por $H$ al suceso "elegir unbuzón en el que figure el nombre de una persona de género masculino en primer lugar",y por $M$, "elegir un buzón en el que aparezca una persona de género femenino en primer lugar", y por $T$ al suceso "elegir una persona que trabaje"
Del enunciado, sabemos que $P(H)=0,7$, $P(M)=0,3$; $P(T|H)=0'8$, y $P(T|M)=0'7$ . Entonces:
a) $P(T)=P((T \cap H) \cup ( (T \cap M))$
$=P(T\cap H) +P(T \cap M)$ ( $T \cap H$ y $T \cap M$ son sucesos incompatibles )
$=P(T|H)P(H)+P(T|M)P(M)$ ( por la fórmula de la probabilidad condicionada )
$=0,8\cdot 0,7+0,7\cdot 0,3$
$=0,77$
b) Por el teorema de Bayes, podemos escribir:
$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)P(H)}{P(T)}$
$=\dfrac{0,8\cdot 0,7}{0,77}\approx 0,7273$
$\square$
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.
SOLUCIÓN. Denotemos por $H$ al suceso "elegir unbuzón en el que figure el nombre de una persona de género masculino en primer lugar",y por $M$, "elegir un buzón en el que aparezca una persona de género femenino en primer lugar", y por $T$ al suceso "elegir una persona que trabaje"
Del enunciado, sabemos que $P(H)=0,7$, $P(M)=0,3$; $P(T|H)=0'8$, y $P(T|M)=0'7$ . Entonces:
a) $P(T)=P((T \cap H) \cup ( (T \cap M))$
$=P(T\cap H) +P(T \cap M)$ ( $T \cap H$ y $T \cap M$ son sucesos incompatibles )
$=P(T|H)P(H)+P(T|M)P(M)$ ( por la fórmula de la probabilidad condicionada )
$=0,8\cdot 0,7+0,7\cdot 0,3$
$=0,77$
b) Por el teorema de Bayes, podemos escribir:
$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)P(H)}{P(T)}$
$=\dfrac{0,8\cdot 0,7}{0,77}\approx 0,7273$
$\square$
Análisis de funciones. Cálculo integral. Recta tangente.
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$$
a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $Ox$
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
SOLUCIÓN. a) Las abscisas de los puntos de corte del eje $Ox\equiv y=0$ y la gráfica de la función $f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$, esto es, son las raíces de la función $f(x)$. Procedemos a encontrarlas: De $2\,x^3-5\,x^2+3\,x=0$, sacando factor común de $x$, podemos escribir $$x\,(2\,x^2-5\,x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 2\,x^2-5\,x+3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 \\ x=3/2\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$ El área pedida se calcula de la forma $$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx\right|$$
La familia de primitivas de $f(x)$ es $\displaystyle \int\,f(x)=\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2+C$ luego una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)\overset{C:=0}{=}\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$. Entonces, $\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right||F(1)-F(0)|=|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{3}$
y
$\displaystyle \left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx=\right|F(3/2)-F(1)|=$
$=|\dfrac{1}{2}\cdot (3/2)^4-\dfrac{5}{3}\cdot (3/2)^3+\dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^2-1/3|=\dfrac{5}{96}$
Así pues, de (1), llegamos al resultado pedido: $$\text{Área}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{96}=\dfrac{37}{96}\,\text{unidades arbitrarias de área}$$
b)
La recta tangente tiene por ecuación $\text{r.t.}\equiv y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente en el punto de abscisa $x=0$ y $k$ es la ordenada en el origen. Procedemos a calcular el valor de $m$; $m\overset{\text{def}}{=}f'(0)$ y como la función derivada es $f'(x)=6x^2-10x+3$ tenemos que $m=3$. Por otra parte, la ordenada en el origen, $k$, se obtiene teniendo en cuenta que $$f(0)=y|_{x=0}^{\text{recta tangente}}$$ luego $$0=m\cdot 0+k \Rightarrow k=0$$ con lo cual ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente en el punto dado ( de abscisa $x=0$ ) $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x+0$$ esto es $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x$$
$\square$
a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $Ox$
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
SOLUCIÓN. a) Las abscisas de los puntos de corte del eje $Ox\equiv y=0$ y la gráfica de la función $f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$, esto es, son las raíces de la función $f(x)$. Procedemos a encontrarlas: De $2\,x^3-5\,x^2+3\,x=0$, sacando factor común de $x$, podemos escribir $$x\,(2\,x^2-5\,x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 2\,x^2-5\,x+3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 \\ x=3/2\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$ El área pedida se calcula de la forma $$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx\right|$$
La familia de primitivas de $f(x)$ es $\displaystyle \int\,f(x)=\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2+C$ luego una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)\overset{C:=0}{=}\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$. Entonces, $\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right||F(1)-F(0)|=|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{3}$
y
$\displaystyle \left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx=\right|F(3/2)-F(1)|=$
$=|\dfrac{1}{2}\cdot (3/2)^4-\dfrac{5}{3}\cdot (3/2)^3+\dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^2-1/3|=\dfrac{5}{96}$
Así pues, de (1), llegamos al resultado pedido: $$\text{Área}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{96}=\dfrac{37}{96}\,\text{unidades arbitrarias de área}$$
b)
La recta tangente tiene por ecuación $\text{r.t.}\equiv y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente en el punto de abscisa $x=0$ y $k$ es la ordenada en el origen. Procedemos a calcular el valor de $m$; $m\overset{\text{def}}{=}f'(0)$ y como la función derivada es $f'(x)=6x^2-10x+3$ tenemos que $m=3$. Por otra parte, la ordenada en el origen, $k$, se obtiene teniendo en cuenta que $$f(0)=y|_{x=0}^{\text{recta tangente}}$$ luego $$0=m\cdot 0+k \Rightarrow k=0$$ con lo cual ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente en el punto dado ( de abscisa $x=0$ ) $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x+0$$ esto es $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x$$
$\square$
Análisis de funciones
ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\dfrac{x^3}{(x+1)^2}$$
a) Calcúlense el dominio de definición y las asíntotas de $f(x)$
b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
SOLUCIÓN.
a)
Si $x=-1$, se anula el denominador ( y no el numerador ), luego $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, y, además podemos afirmar que la función tiene una asíntota vertical: $\text{a.v.}\equiv x=-1$, puesto que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty$
Vaeamos ahora si hay asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$ $$\displaystyle m=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}=1$$ $$\displaystyle k=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-1\cdot x = \lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=-2$$ por tanto $$\text{a.o.}\equiv y=x-2$$
Nota: No hay asíntotas horizantales, pues no hemos encontrado valores nulos para $m$
b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a determinar primero los extremos relativos, pues éstos nos serviran de guía para interpretar el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a la abscisa de un extremo relativo es $$f'(x)=0$$ y puede comprobarse -- por economía de espacio, omito aquí los cálculos -- que $$f'(x)=\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}$$ así que $$\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2\,(x+3)=0 \Rightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ 0\end{matrix}\right.$$
Veamos a qué tipo de extremo relativo corresponde cada una de las abscisas calculadas. Emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en esos puntos. Calculando la función segunda derivada, encontramos $$f''(x)=\dfrac{6x}{(x+1)^4}$$ Así pues, como $f(-3)\prec 0$, deducimos que $x^{*}=-3$ es la abscisa de un máximo local. Por otra parte $f''(0)=0$ y por tanto el criterio referido no nos permite decidir la naturaleza del extremo relativo en $x* =0$, por lo que recurrimos a calcular el signo de la primera derivada a ambos lados ( en puntos cercanos ) de dicha abscisa, $f'(0^{-})$ y $f'(0^+)$; así, encontramos que, por ejemplo en $x=-1/2 \prec 0$, $f'(-1/2) \succ 0$, y a la derecha de $x^*=0$, pongamos que en $x=1$ ( $1 \succ 0$ ), $f'(1) \succ 0$; ésto es, el signo de la primera derivada no cambia, luego deducimos que la función es creciente a ambos lados de $x^*=0$, por lo que sólo puede tratarse de un punto de inflexión con derivada primera nula.
De todo ello se desprende que la función es creciente en los siguientes intervalos: $I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,3)$ y $I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,+\infty)$, y es decreciente en el intervalo $I_{3}^{\downarrow}=(-3\,,\,-1)$
Nota. Aunque no se pida, es ilustrativo bosquejar la gráfica de la función, tal como aparece en la siguiente figura:
$\square$
a) Calcúlense el dominio de definición y las asíntotas de $f(x)$
b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
SOLUCIÓN.
a)
Si $x=-1$, se anula el denominador ( y no el numerador ), luego $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, y, además podemos afirmar que la función tiene una asíntota vertical: $\text{a.v.}\equiv x=-1$, puesto que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty$
Vaeamos ahora si hay asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$ $$\displaystyle m=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}=1$$ $$\displaystyle k=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-1\cdot x = \lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=-2$$ por tanto $$\text{a.o.}\equiv y=x-2$$
Nota: No hay asíntotas horizantales, pues no hemos encontrado valores nulos para $m$
b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a determinar primero los extremos relativos, pues éstos nos serviran de guía para interpretar el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a la abscisa de un extremo relativo es $$f'(x)=0$$ y puede comprobarse -- por economía de espacio, omito aquí los cálculos -- que $$f'(x)=\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}$$ así que $$\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2\,(x+3)=0 \Rightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ 0\end{matrix}\right.$$
Veamos a qué tipo de extremo relativo corresponde cada una de las abscisas calculadas. Emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en esos puntos. Calculando la función segunda derivada, encontramos $$f''(x)=\dfrac{6x}{(x+1)^4}$$ Así pues, como $f(-3)\prec 0$, deducimos que $x^{*}=-3$ es la abscisa de un máximo local. Por otra parte $f''(0)=0$ y por tanto el criterio referido no nos permite decidir la naturaleza del extremo relativo en $x* =0$, por lo que recurrimos a calcular el signo de la primera derivada a ambos lados ( en puntos cercanos ) de dicha abscisa, $f'(0^{-})$ y $f'(0^+)$; así, encontramos que, por ejemplo en $x=-1/2 \prec 0$, $f'(-1/2) \succ 0$, y a la derecha de $x^*=0$, pongamos que en $x=1$ ( $1 \succ 0$ ), $f'(1) \succ 0$; ésto es, el signo de la primera derivada no cambia, luego deducimos que la función es creciente a ambos lados de $x^*=0$, por lo que sólo puede tratarse de un punto de inflexión con derivada primera nula.
De todo ello se desprende que la función es creciente en los siguientes intervalos: $I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,3)$ y $I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,+\infty)$, y es decreciente en el intervalo $I_{3}^{\downarrow}=(-3\,,\,-1)$
Nota. Aunque no se pida, es ilustrativo bosquejar la gráfica de la función, tal como aparece en la siguiente figura:
$\square$
Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: $$\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=3$
SOLUICÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right. \overset{-e_1+e_3 \rightarrow e_3\,,\,-a\,e_3+e_2 \rightarrow e_2}{\sim} $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ x&+&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&(1-a)\,y&&&=&a \end{matrix}\right. \overset{-e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&&&z&=&a(a+1) \end{matrix}\right. $
Si $a:=1$ las ecuaciones segunda y tercera son incompatibles:
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&&&z&=&1 \\ &&&&z&=&2 \end{matrix}\right.$
luego para $a=1$ el sistema es incompatible, puesto que las ecuaciones (2) y (3) se contradicen. Para cualquier otro valor de $a$ ( que no sea $1$ ), el sistema es compatible determinado, pues el rango del sistema es igual a $3$ ( el sistema reducido consta de $3$ ecuaciones no indenticamente nulas ) y éste es igual al número de incógnitas ( teorema de Rouché-Fröbenius ).
b)
Siendo $a:=3\neq 1$, según el resultado de la discusión el sistema es compatible determinado. Sustituyendo $a$ por $3$, un sistema equivalente ( reducido por Gauss) es $$\left\{\begin{matrix}x&+&3\,y&+&z&=&1 \\ &&2\,y&+&z&=&9 \\ &&&&z&=&12 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $z$ ( $z=12$ ) en la segunda ecuación y despejando $y$ obtenemos $y=-\dfrac{3}{2}$; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$, encontramos $x=-\dfrac{13}{2}$
$\square$
a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=3$
SOLUICÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ a\,x&+&y&+&(a-1)z&=&a \\ x&+&y&+&z&=&a+1 \end{matrix}\right. \overset{-e_1+e_3 \rightarrow e_3\,,\,-a\,e_3+e_2 \rightarrow e_2}{\sim} $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ x&+&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&(1-a)\,y&&&=&a \end{matrix}\right. \overset{-e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&(1-a)\,y&-&z&=&-a^2 \\ &&&&z&=&a(a+1) \end{matrix}\right. $
Si $a:=1$ las ecuaciones segunda y tercera son incompatibles:
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&a\,y&+&z&=&1 \\ &&&&z&=&1 \\ &&&&z&=&2 \end{matrix}\right.$
luego para $a=1$ el sistema es incompatible, puesto que las ecuaciones (2) y (3) se contradicen. Para cualquier otro valor de $a$ ( que no sea $1$ ), el sistema es compatible determinado, pues el rango del sistema es igual a $3$ ( el sistema reducido consta de $3$ ecuaciones no indenticamente nulas ) y éste es igual al número de incógnitas ( teorema de Rouché-Fröbenius ).
b)
Siendo $a:=3\neq 1$, según el resultado de la discusión el sistema es compatible determinado. Sustituyendo $a$ por $3$, un sistema equivalente ( reducido por Gauss) es $$\left\{\begin{matrix}x&+&3\,y&+&z&=&1 \\ &&2\,y&+&z&=&9 \\ &&&&z&=&12 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $z$ ( $z=12$ ) en la segunda ecuación y despejando $y$ obtenemos $y=-\dfrac{3}{2}$; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$, encontramos $x=-\dfrac{13}{2}$
$\square$
Probabilidad y estadística. Intervalos de confiaza
ENUNCIADO. La empresa Dulce.SA produce sobres de azúcar cuyo peso en gramos se puede aproximar por una variable
aleatoria $X$ con distribución normal con media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 0,5$ gramos.
a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo
cometido en la estimación de la media sea como mucho de $0,25$ gramos con un nivel de confianza del $95\,\%$.
b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $25$ sobres, la media muestral, $\bar{X}$,
pese más de $12,25$ gramos, sabiendo que $\mu = 12$ gramos.
SOLUCIÓN.
a)
$X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,0'5)$ y, de lo explicado en clase, sabemos que el error en la estimación de $\mu$ es $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \quad (1)$$.
Procedemos a calcular el valor de la abscisa critica $z_{\alpha/2}$; como $1-\alpha=0,95$, tenemos que $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, con lo cual $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=0,025 \Rightarrow P\{Z \le z_{\alpha/2}\}\overset{\text{def}}{=}F(z_{\alpha/2})=1-0,025=0,975$, y, con este valor, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, $N(0,1)$, encontramos que $z_{\alpha/2}=1,96$.
De (1), vemos que si $E_{\text{máx}}:=0,25$,entonces $$0,25=1,96 \cdot \dfrac{0,5}{\sqrt{n_{\text{mín}}}}$$ con lo cual $$n_{\text{mín}}=\left( \dfrac{1,96 \cdot 0,5}{0,25} \right)^2 \approx 16$$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=12$ gramos y que $n:=25$ sobres ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(12\,,\,0'5/\sqrt{25})$ es decir, es $N(12\,,\,0'1)$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 12,25\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $112,25 \rightarrow \dfrac{12-12,25}{0,5/\sqrt{25}}=-2,5$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 12,25 \}=P\{ Z \ge -2,5\}=1-P\{ Z \le -2,5\}=$
$=1-( P\{Z \ge 2,5\})=1-(1-P\{Z \le 2,5\})=$
$=P\{Z \le 2,5\}=F(2,5)=0,9938$
$\square$
aleatoria $X$ con distribución normal con media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 0,5$ gramos.
a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo
cometido en la estimación de la media sea como mucho de $0,25$ gramos con un nivel de confianza del $95\,\%$.
b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $25$ sobres, la media muestral, $\bar{X}$,
pese más de $12,25$ gramos, sabiendo que $\mu = 12$ gramos.
SOLUCIÓN.
a)
$X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,0'5)$ y, de lo explicado en clase, sabemos que el error en la estimación de $\mu$ es $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \quad (1)$$.
Procedemos a calcular el valor de la abscisa critica $z_{\alpha/2}$; como $1-\alpha=0,95$, tenemos que $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, con lo cual $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=0,025 \Rightarrow P\{Z \le z_{\alpha/2}\}\overset{\text{def}}{=}F(z_{\alpha/2})=1-0,025=0,975$, y, con este valor, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, $N(0,1)$, encontramos que $z_{\alpha/2}=1,96$.
De (1), vemos que si $E_{\text{máx}}:=0,25$,entonces $$0,25=1,96 \cdot \dfrac{0,5}{\sqrt{n_{\text{mín}}}}$$ con lo cual $$n_{\text{mín}}=\left( \dfrac{1,96 \cdot 0,5}{0,25} \right)^2 \approx 16$$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=12$ gramos y que $n:=25$ sobres ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(12\,,\,0'5/\sqrt{25})$ es decir, es $N(12\,,\,0'1)$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 12,25\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $112,25 \rightarrow \dfrac{12-12,25}{0,5/\sqrt{25}}=-2,5$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 12,25 \}=P\{ Z \ge -2,5\}=1-P\{ Z \le -2,5\}=$
$=1-( P\{Z \ge 2,5\})=1-(1-P\{Z \le 2,5\})=$
$=P\{Z \le 2,5\}=F(2,5)=0,9938$
$\square$
Cálculo de probabilidades. Teorema de Bayes
ENUNCIADO. En una agencia de viajes se ha observado que el $75\,\%$ de los clientes acude buscando un billete de transporte, el $80\%$ buscando una reserva de hotel. Se ha observado además que el $65\,\%$ busca las dos cosas. Elegido un cliente de dicha agencia al azar, calcúlese la probabilidad de que:
a) Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.
b) Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.
SOLUCIÓN. Denotemos por $T$ al suceso "elegir un cliente que busca billete de transporte",y por $H$, "elegir un cliente que busca reserva de hotel"
Del enunciado, sabemos que $P(T)=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$, $P(H)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$ y $P(H \cap T)=\dfrac{65}{100}=\dfrac{13}{20}$. Entonces:
a) $P(H \cup T)\overset{\text{fórmula de inclusión-exclusión}}{=}P(H)+P(T)-P(H \cap T)$
$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{13}{20}$
$=\dfrac{9}{10}=0,9$
b) $P(T|H)\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(T \cap H}{P(H)}=\dfrac{P(H \cap T}{P(H)}=\dfrac{13/20}{4/5}=\dfrac{13}{60}=0,8125$
$\square$
a) Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.
b) Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.
SOLUCIÓN. Denotemos por $T$ al suceso "elegir un cliente que busca billete de transporte",y por $H$, "elegir un cliente que busca reserva de hotel"
Del enunciado, sabemos que $P(T)=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$, $P(H)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$ y $P(H \cap T)=\dfrac{65}{100}=\dfrac{13}{20}$. Entonces:
a) $P(H \cup T)\overset{\text{fórmula de inclusión-exclusión}}{=}P(H)+P(T)-P(H \cap T)$
$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{13}{20}$
$=\dfrac{9}{10}=0,9$
b) $P(T|H)\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(T \cap H}{P(H)}=\dfrac{P(H \cap T}{P(H)}=\dfrac{13/20}{4/5}=\dfrac{13}{60}=0,8125$
$\square$
Análisis de funciones
ENUNCIADO. Dada la función real de variable real dada por $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{x+2}{x-1}&\text{si}&x\le 2 \\ \\\dfrac{3x^2-2x}{x+2}&\text{si}&x\succ 2 \end{matrix}\right.$$
a) Estúdiese si $f(x)$ es continua en $x=2$
b) Calcúlese la función derivada de $f(x)$ para $x\prec 2$
SOLUCIÓN
a)
Calculemos los límites laterales en $x=2$:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{2+2}{2-1}=4$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,\dfrac{3x^2-2x}{x+2}=\dfrac{3\cdot 2^2-2\cdot 2}{2+2}=2$$
y al no coincidir su valor, no existe el límite global de $f(x)$ en $x=2$, luego la función no es continua en $x=2$
b)
Para $x \prec 2$ la función derivada es
$f'(x)=\left( \dfrac{x+2}{x-1} \right)'=\dfrac{(x+2)'(x-1)-(x-1)'(x+2)}{(x-1)^2}=$
$\dfrac{1\cdot (x-1)-1\cdot (x+2)}{(x-1)^2}=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$
$\square$
a) Estúdiese si $f(x)$ es continua en $x=2$
b) Calcúlese la función derivada de $f(x)$ para $x\prec 2$
SOLUCIÓN
a)
Calculemos los límites laterales en $x=2$:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{2+2}{2-1}=4$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,\dfrac{3x^2-2x}{x+2}=\dfrac{3\cdot 2^2-2\cdot 2}{2+2}=2$$
y al no coincidir su valor, no existe el límite global de $f(x)$ en $x=2$, luego la función no es continua en $x=2$
b)
Para $x \prec 2$ la función derivada es
$f'(x)=\left( \dfrac{x+2}{x-1} \right)'=\dfrac{(x+2)'(x-1)-(x-1)'(x+2)}{(x-1)^2}=$
$\dfrac{1\cdot (x-1)-1\cdot (x+2)}{(x-1)^2}=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$
$\square$
Programación lineal
ENUNCIADO. Sea $S$ la región del plano definida por: $x+y\le 50$, $2x+y\le 80$, $x\ge 0$, $y\ge 0$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténgase el valor máximo de la función $f(x,y)=5x+4y$ en la región $S$, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo
SOLUCIÓN.
a) La región factible ( región convexa del plano ) de este ejercicio de programación lineal viene dada por $$S \equiv \left\{\begin{matrix}x+y\le 50 \\ 2x+y\le 80 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} y \le -x+50 & (1)\\ y \le -2x+80 & (2)\\ x\ge 0 & (3) \\ y\ge 0 & (4)\end{matrix}\right.$$ luego las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de la misma son $$\left\{\begin{matrix}r_1 \equiv y = -x+50 \\r_2 \equiv y = -2x+80 \\ r_3 \equiv x = 0 \\ r_4 \equiv y = 0 \end{matrix}\right.$$
Interpretando el sentido de las desigualdades, podemos representar dicha región factible ( coloreada en la figura )
Nota: Determinamos las coordenadas del punto $Q$ de la siguiente manera: como $Q = r_1 \cap r_2$, $Q \equiv \left\{\begin{matrix}y=-x+50 \\ y=-2x+80\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=30 \\ y=20\end{matrix}\right.$ con lo cual obtenemos $Q(30,20)$. Por otra parte, el punto $P$ es el punto de corte de la recta $r_1$ con el eje $Oy$, luego su ordenada en el origen es $(-x+50)|_{x=0}=50$ con lo cual obtenemos $P(0,50)$; y el punto $R$ es el punto de corte de la recta $r_2$ con el eje $Ox$, por tanto, su raíz es la solución de la ecuación $0=-2x+80$, esto es, $x=40$, en consecuencia obtenemos $R(40,0)$. En cuanto al punto $O$ es, evidentemente, el punto de intersección de $r_3$ y $r_4$, y, desde luego es $O(0,0)$
En la tabla que aparece abajo, representamos los valores de la función objetivo ( la recta de color rosa, en trazo grueso ) es la recta de la familia de rectas de la función objetivo que da el máximo valor de la función objetivo, como puede verse también en la tabla de valores que detallamos a continuación:
$\square$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténgase el valor máximo de la función $f(x,y)=5x+4y$ en la región $S$, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo
SOLUCIÓN.
a) La región factible ( región convexa del plano ) de este ejercicio de programación lineal viene dada por $$S \equiv \left\{\begin{matrix}x+y\le 50 \\ 2x+y\le 80 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} y \le -x+50 & (1)\\ y \le -2x+80 & (2)\\ x\ge 0 & (3) \\ y\ge 0 & (4)\end{matrix}\right.$$ luego las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de la misma son $$\left\{\begin{matrix}r_1 \equiv y = -x+50 \\r_2 \equiv y = -2x+80 \\ r_3 \equiv x = 0 \\ r_4 \equiv y = 0 \end{matrix}\right.$$
Interpretando el sentido de las desigualdades, podemos representar dicha región factible ( coloreada en la figura )
Nota: Determinamos las coordenadas del punto $Q$ de la siguiente manera: como $Q = r_1 \cap r_2$, $Q \equiv \left\{\begin{matrix}y=-x+50 \\ y=-2x+80\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=30 \\ y=20\end{matrix}\right.$ con lo cual obtenemos $Q(30,20)$. Por otra parte, el punto $P$ es el punto de corte de la recta $r_1$ con el eje $Oy$, luego su ordenada en el origen es $(-x+50)|_{x=0}=50$ con lo cual obtenemos $P(0,50)$; y el punto $R$ es el punto de corte de la recta $r_2$ con el eje $Ox$, por tanto, su raíz es la solución de la ecuación $0=-2x+80$, esto es, $x=40$, en consecuencia obtenemos $R(40,0)$. En cuanto al punto $O$ es, evidentemente, el punto de intersección de $r_3$ y $r_4$, y, desde luego es $O(0,0)$
En la tabla que aparece abajo, representamos los valores de la función objetivo ( la recta de color rosa, en trazo grueso ) es la recta de la familia de rectas de la función objetivo que da el máximo valor de la función objetivo, como puede verse también en la tabla de valores que detallamos a continuación:
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- vértice | x | y | f(x,y) = 5x+4y --------------------------------------------------------- O(0,0) | 0 | 0 | f(0,0) = 0 --------------------------------------------------------- P(0,50) | 0 | 50 | f(0,50) = 200 --------------------------------------------------------- Q(30,20)| 30 | 20 | f(30,20)= 230 --------------------------------------------------------- R(40,0) | 40 | 0 | f(40,0) = 200 ---------------------------------------------------------
$\square$
Álgebra lineal. Cálculo con matrices
ENUNCIADO. Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}$
a) Compruébese que $B$ es la matriz inversa de $A$
b) Calcúlese la matriz $X$ tal que $AX=B$
SOLUCIÓN.
a) Veamos si $AB=BA=I$. Bastará con comprobar que $AB=I$. En efecto,
$AB=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 3+1\cdot (-8)&3\cdot(-1)+1\cdot 3\\8\cdot 3+3\cdot (-8)&8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Así pues $A^{-1}=B$
b)
$AX=B$
$A^{-1}AX=A^{-1}B$
$IX=A^{-1}B$
$X=A^{-1}B$
$X\overset{\text{(apartado a)}}{=}BB=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}3\cdot 3+(-1)\cdot (-8)&3\cdot (-1)+(-1)\cdot 3\\-8\cdot 3+3\cdot (-8)&-8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-6\\-48&17\end{pmatrix}$
$\square$
a) Compruébese que $B$ es la matriz inversa de $A$
b) Calcúlese la matriz $X$ tal que $AX=B$
SOLUCIÓN.
a) Veamos si $AB=BA=I$. Bastará con comprobar que $AB=I$. En efecto,
$AB=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 3+1\cdot (-8)&3\cdot(-1)+1\cdot 3\\8\cdot 3+3\cdot (-8)&8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Así pues $A^{-1}=B$
b)
$AX=B$
$A^{-1}AX=A^{-1}B$
$IX=A^{-1}B$
$X=A^{-1}B$
$X\overset{\text{(apartado a)}}{=}BB=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}3\cdot 3+(-1)\cdot (-8)&3\cdot (-1)+(-1)\cdot 3\\-8\cdot 3+3\cdot (-8)&-8\cdot (-1)+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-6\\-48&17\end{pmatrix}$
$\square$
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