Dada la función real de variable real (...)

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real definida por $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1 & \text{si} & x < 1 \\ \\ \dfrac{ax+b}{x} & \text{si} & 1 \le x \le 2 \\ \\ \sqrt{x^3+1} & \text{si} & x > 2\end{matrix}\right.$$
a) Determínense los valores que deben tomar los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua en $x=1$ y $x=2$
b) Calcúlese, para $a=4$ y $b=-2$, el área del recinto acotado por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$

SOLUCIÓN.
a)
Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$ ha de cumplirse $$\{x^2+1:x=1\}=\{\dfrac{ax+b}{x}:x=1\}$$ y por tanto $$a+b=2 \quad \quad \quad (1)$$

Para que $f(x)$ sea continua en $x=2$ ha de cumplirse $$\{\sqrt{x^3+1}:x=2\}=\{\dfrac{ax+b}{x}:x=2\}$$ y por tanto $$2a+b=6 \quad \quad \quad (2)$$
Resolviendo ahora el sistema de ecuaciones que forman (1) y (2) $$\left\{\begin{matrix}a&+&b&=&2 \\ 2a&+&b&=&6\end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}a&+&b&=&2 \\ a&&&=&4\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&b&=&-2 \\ a&&&=&4\end{matrix}\right.$$

b)
$$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{1}^{2}\,\dfrac{4x-2}{x}\,dx\right|$$ Teniendo en cuenta que una primitiva, $F(x)$, de la función $\dfrac{4x-2}{x}$ es $\displaystyle \int \dfrac{4x-2}{x} dx = 4\int dx -2 \int \dfrac{1}{x}dx = 4x-2\,\ln x$, podemos escribir $$\displaystyle \text{Área}\overset{\text{Barrow}}{=}\left|F(2)-F(1)\right|=(4\cdot 2 - 2\,\ln 2)-(4\cdot 1 - 2 \ln 1)=4-2\ln2=2\,(2-\ln2)$$

$\square$