Sean dos sucesos aleatorios (...)

ENUNCIADO. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A)=3/4$, $P(A|B)=3/4$ y $P(B|A)=1/4$
a) Demuéstrese que $A$ y $B$ son sucesos independientes pero no incompatibles
b) Calcúlese $P(\bar{A}|\bar{B})$
NOTA: $\bar{S}$ denota el suceso complementario/contrario del suceso $S$

SOLUCIÓN.
a)
Los sucesos $A$ y $B$ son compatibles:
Para demostrar que $A$ y $B$ son compatibles debemos probar que $P(A \cup B) \neq P(A)+P(B)$; en otras palabras, y teniendo en cuenta la propiedad general $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$, es necesario probar que $P(A \cap B) \neq 0$. Para ello consideremos las siguientes expresiones que vienen de la definición de probabilidad condicionada: $$P(A|B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A \cap B}{P(B)} \quad \quad (1)$$ y $$P(B|A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(B \cap A}{P(A)}=\dfrac{P(A \cap B}{P(A)} \quad \quad (2)$$ Dividiendo, miembro a miembro, (1) entre (2), obtenemos $$\dfrac{P(A|B)}{P(B|A)}=\dfrac{P(A)}{P(B)}$$ de donde se deduce que $$P(B)=\dfrac{P(A)P(B|A)}{P(A|B)}=\dfrac{(3/4)\cdot (1/4)}{1/4}=1/4$$ Entonces $$P(A \cap B)\overset{\text(1)}{=}P(A|B)P(B)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{16} \neq 0$$
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Los sucesos $A$ y $B$ son independientes:
De la definición de independencia de sucesos sabemos que $A$ y $B$ son independientes si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$. En efecto, con los datos del problema y los resultados obtenidos se comprueba que $P(A|B)=P(A)=\dfrac{3}{4}$ y $P(B|A)=P(B)=\dfrac{1}{4}$

Otra forma de demostrarlo es la siguiente. Los sucesos $A$ y $B$ son independientes si se cumple la siguiente igualdad $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ ( consecuencia de la definición de sucesos independientes ). Bastará pues comprobar que, con los datos del problema y los resultados que acabamos de obtener, ésto se cumple. En efecto, hemos calculado el valor del primer miembro de la igualdad en la primera parte: $P(A \cap B)=\dfrac{3}{16}$; y, también, se ha calculado $P(B)$ que es $\dfrac{1}{4}$. Entonces, como sabemos ( enunciado ) que $P(A)=\dfrac{3}{4}$, se cumple que $P(A)P(B)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{16}$

b)
Sabemos que $$P(\bar{A}|\bar{B})\overset{\text{def. cond.}}{=}\dfrac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Ahora bien, de la primera ley de Morgan, $\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A \cup B}$, por tanto $$P(\bar{A}|\bar{B})=\dfrac{P(\overline{A \cup B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{1-P(A\cup B)}{1-P(B)} \quad \quad (3)$$ y, por la fórmula de inclusión-exclusión $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ Con los datos del problema encontramos: $$P(A \cup B)=1-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{3}{16}$$ y $$1-P(B)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$ Y sustituyendo estos resultados en (3), obtenemos $$P(\bar{A}|\bar{B})=\dfrac{3/16}{3/4}=\dfrac{1}{4}$$
$\square$