El tiempo, en meses, de permanencia de un socio en un cierto club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria (...)

ENUNCIADO. El tiempo, en meses, de permanencia de un socio en un cierto club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica/estándar $\sigma=9$ meses.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $100$ personas que han sido socias de ese club, resultando una estancia media de $\bar{x}=8'1$ meses. Determínese un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media de la población $\mu$
b) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de $144$ personas se ha obtenido el intervalo de confianza $(7'766\,,\,10'233)$ para la media de la población $\mu$, determínese el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.

SOLUCIÓN.

a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "tiempo de permanencia en el club". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$ ( en meses ), entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=8'1$ meses y $E$ es el máximo error cometido en la estimación ( amplitud del intervalo de confianza ), que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación. Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0{,}90$, luego $\alpha=0{,}10$ y por tanto $\alpha/2=0{,}05$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0{,}05=0{,}95$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad normal tipificada $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2}\approx 1'64$

Así, $E=1'64 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{100}}\approx 1'476$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(8'1-1'476\,,\,8'1+1'476)$ esto es $(6'624\,,\,9'576)$. En buena lógica, vamos ahora a aproximar el extremo inferior por defecto y el extremo superior por exceso, por lo que podemos concluir que el intervalo de confianza pedido es $(6\;,\;10)$ meses.

b)
Recordemos que la amplitud del intervalo de confianza viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. En este apartado del problema, partimos de los siguientes datos: $\sigma=9$ minutos, $n=144$ y $E =\dfrac{10'233-7'766}{2}=1'2335$ minutos. entonces $1'2335=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{9}{\sqrt{144}} \Rightarrow z_{\alpha/2}\approx 1'64$. Consultando ahora las tablas de la función de distribución normal tipificada $N(0,1)$ encontramos $F(1'64) \equiv P\{ Z \le z_{\alpha/2} \}=P\{ Z \le 1'64\}=1-\alpha/2=0'9495$.

Entonces, si $1-\alpha/2=0'9495=94'95\,\%$, el nivel de riesgo en la estimación es $\alpha=2\cdot (1-0'9495)=0'101$, de donde se sigue que el nivel de confianza $1-\alpha$ es igual a $1-0'101=0'899=89'9\,\%$
$\square$