Se considera el sistema de ecuaciones (...)

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$ $$\left\{\begin{matrix}(a-1)x&+&y&+&z&=&1 \\ x&+&(a-1)y&+&(a-1)z&=&1 \\ x&&&+&az&=&1 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=3$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss,
$\left\{\begin{matrix}(a-1)x&+&y&+&z&=&1 \\ x&+&(a-1)y&+&(a-1)z&=&1 \\ x&&&+&az&=&1 \end{matrix}\right.$

$\sim \left\{\begin{matrix}y&+&(a-1)x&+&z&=&1 \\ (a-1)y&+&x&+&(a-1)z&=&1 \\ &&x&+&az&=&1 \end{matrix}\right. \overset{-(a-1)e_1+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}y&+&(a-1)x&+&z&=&1 \\ &&a(a-2)x&&&=&(a-2) \\ &&x&+&az&=&1 \end{matrix}\right.$

$\sim \left\{\begin{matrix}y&+&(a-1)x&+&z&=&1 \\ &&x&+&az&=&1 \\ &&a(a-2)x&&&=&(a-2) \end{matrix}\right.$

$\sim \left\{\begin{matrix}y&+&z&+&(a-1)x&=&1 \\ &&az&+&x&=&1 \\ &&&&a(a-2)x&=&(a-2) \end{matrix}\right.$

Debemos distinguir ahora los siguientes casos:

Caso 1. Si $a=0$, la tercera ecuación conduce a una contradicción, $0=-2$, con lo cual el sistema es incompatible para este valor del parámetro.

Caso 2. Si $a=2$, la tercera ecuación es trivial, pues obtenemos $0=0$, luego el sistema tiene dos ecuaciones independientes, con lo cual el rango del mismo es $r=2$; y como el número de incógnitas es $n=3$, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( y $2$ variables principales ), según el teorema de Rouché-Fröbenius.

Caso 3. Si $a \notin \{0,2\}$, el sistema es compatible determinado, ya que $r=n=3$ ( por el teorema de Rouché-Fröbenius )

b)
Si $a=3$, como $3 \notin \{0,2\}$, estamos en el caso 3 y el sistema es compatible determinado. El sistema equivalente reducido es
$\left\{\begin{matrix}y&+&z&+&2x&=&1 \\ &&3z&+&x&=&1 \\ &&&&3x&=&1 \end{matrix}\right.$
Despejando $x$ de la tercera ecuación, obtenemos $$x=1/3$$ sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $z$ obtenemos, $$z=2/9$$ y sustituyendo los dos valores encontrados para $x$ y $z$ en la primera ecuación y despejando $y$, se llega a $$y=1/9$$
$\square$