Se considera la función (...)

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2-9}$$
a) Calcúlense sus asíntotas
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

SOLUCIÓN.
a)
Podemos expresar la función de la forma $$f(x)=\dfrac{x^2-3}{(x-3)(x+3)}$$ con lo cual vemos que el denominador ( y no el numerador ) se anula para $x=-3$ y $x=3$, así que la función tiene dos asíntotas verticales: $$\text{a.v}_1:x=-3$$ y $$\text{a.v}_2:x=3$$ Veamos ahora si tiene alguna asíntota oblicua ( incluidas las posibles asíntotas horizontales en ese grupo ).

Una asíntota oblicua se escribe de la forma $y=mx+k$, donde $$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$$ Así, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{x^2-3}{x(x-3)(x+3)}=0$ por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del polinomio del numerador. La única asíntota que encontramos, pues, es una asíntota horizontal, del tipo $y=k$.

Procedemos a calcular el valor de $k$: $\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{x^2-3}{x^2-9}=1$, por ser iguales los grados de los polinomios del numerador y denominador, siendo los coeficientes de mayor grado igual a $1$ en sendos polinomios. Por consiguiente, la ecuación de la recta asíntota horizontal que acabamos de encontrar es $\text{a.h.}:y=1$


b)
Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a ver primero si la función tiene algún extremo relativo. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos $$f'(x)=0$$ vemos que $$\dfrac{2x(x^2-9)-2x(x^2-3)}{(x^2-9)^2}=0 \Leftrightarrow x=0$$ Investiguemos ahora de qué tipo de extremo relativo se trata. A la izquierda de $x^*=0$, en puntos muy cercanos ( pongamos que, por ejemplo, en $x=-1$) la primera derivada tiene signo positivo; y, a la derecha, en puntos muy cercanos ( por ejemplo en $x=1$ ) tiene signo negativo, de lo cual se deduce que el extremo relativo encontrado corresponde a un máximo relativo.

Con la información recogida hasta este punto podemos ver que $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3^{-}}\,f(x)=+\infty$$ $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3^{+}}\,f(x)=-\infty$$ $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\,f(x)=+\infty$$
También es útil conocer el valor de las raíces de la función: $$f(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}\\ \\ \sqrt{3}\end{matrix}\right.$$

Así, podemos bosquejar el siguiente gráfico para la función:

con lo cual podemos escribir los intervalos de crecimiento: $(-\infty,-3)$ y $(-3,0)$, así como los de decrecimiento: $(0,3)$ y $(3,+\infty)$
$\square$