Se considera la función real de variable real (...)

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+2x & \text{si} & x \prec 0 \\ -x^2+3x & \text{si} & x \ge 0 \end{matrix}\right.$$
a) Estúdiese la continuidad y la derivabilidad de la función
b) Determínense los valores de $a \in \mathbb{R}$ para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=a$ es $-2$. Calcúlese, para cada valor de $a$ obtenido, la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=a$

SOLUCIÓN.
a)
Estudio de la continuidad:
Las dos tramos polinómicos en que está definida la función son continuos, por ser polinomios. El único punto donde podría haber problemas de continuidad es en $x=0$, sin embargo la función también es continua en dicho punto. En efecto, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0$, luego el límite global existe y su valor es $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$; y, por otra parte, el valor de dicho límite es igual al valor de la función en $x=0$, $f(0)=0$. En consecuencia la función es continua en todos los puntos del dominio de definición, que es todo el conjunto $\mathbb{R}$.

Estudio de la derivabilidad:
Los dos tramos de la función son derivables en todos los puntos, ya que son polinomios. El único punto que podría presentar problemas de derivabilidad es en $x=0$ ( en punto de engarce de los dos tramos ). Veamos si la función es derivable en $x=0$. Para que lo sea, al calcular los límites que definen la derivada, por la izquierda y por la derecha de $x=0$, deberían dar el mismo valor. Veamos si es así: $$\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0)-f(0-\Delta x)}{\Delta x}=(x^2+2x)'|_{x=0}=(2x+2)'|_{x=0}=2\cdot 0+2=2$$ por el contrario $$\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=(-x^2+3x)'|_{x=0}=(-2x+3)'|_{x=0}=-2\cdot 0+3=3$$ Al no coincidir dichos límites, no existe la derivada de $f(x)$ en $x=0$; en otras palabras, no podemos trazar la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $x=0$. Así pues, el dominio de derivabilidad de $f(x)$ es $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

b)
Procedemos a investigar en qué puntos de $\mathbb{R}$ la recta tangente a la gráfica de la función tiene pendiente negativa. El primer tramo de la función, esto es el polinomio $x^2+2x$ ( definido para todos los números reales negativos ) presenta un mínimo relativo en $x=-1$, ya que ésta es la abscisa del vértice de la parábola dada por dicho polinomio. Por otra parte, el segundo tramo, $-x^2+3x$, que también es un polinomio ( definido para el cero y todos los números reales positivos ) presenta un máximo relativo ( la parábola asociada a dicho tramo polinómico tiene coeficiente principal negativo ) en $x=3/2$, que es la abscisa el vértice de dicha parábola. Nota: También podemos deducir las abscisas de dichos extremos relativos, derivando e igualando a cero.

Entonces, los intervalos de decrecimiento de la función, donde la pendiente de la recta tangente es negativa, son: $I_1=(-\infty,-1)$ e $I_2=(3/2,+\infty)$, con lo cual encontraremos dos valores, $a$, del dominio de derivabilidad de $f(x)$ que cumplen que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ es igual a $-2$; uno de ellos ha de ser menor que $-1$, pues está en $I_1$, y el otro ha de ser mayor que $3/2$, pues está en $I_2$. Distinguimos pues los siguientes casos.

Caso I:
La pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ situado a la izquierda de $-1$ ( esto es, del intervalor $I_1$ ) ha de ser igual a $-2$ (enunciado), y dicho valor corresponde a la derivada de la función en dicho punto, $f'(a)$. Como para $x\prec -1$, $f'(x)=2x+2$, tenemos que $(2x+2)_{x=a}=-2$ y por tanto $$2a+2=-2$$ de donde deducimos que $a=-2$

A continuación, vamos a escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto $a=-2$, que designaremos por $\text{r.t.}_1$. Sabemos que la ecuación de dicha recta es de la forma $y=mx+k$, y como la pendiente de dicha recta es $m=-2$, nos queda $y=-2x+k$. Para determinar el valor de la ordenada en el origen, $k$, debemos tener en cuenta que el valor de dicha función lineal afín en $x=a=-2$ ha de coincidir con el valor de la función $f(x)$ en $x=a=-2$. Es decir, $$-2\cdot (-2)+k=f(-2)$$ y como $f(-2)=(-2)^2+2\cdot (-2)=4-4=0$, tenemos que $$-2\cdot (-2)+k=0 \Leftrightarrow k=-4$$ Así que
$$\text{r.t.}_1:y=-2x-4$$

Caso II:
La pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ situado a la izquierda de $3/2$ ( esto es, del intervalor $I_2$ ) ha de ser igual a $-2$ (enunciado ), y dicho valor corresponde a la derivada de la función en dicho punto, $f'(a)$. Como para $x \succ 3/2$, $f'(x)=-2x+3$, tenemos que $(-2x+3)_{x=a}=-2$ y por tanto $$-2a+3=-2$$ de donde deducimos que $a=5/2$

Procedemos a escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto $a=5/2$, que designaremos por $\text{r.t.}_2$. Repetimos los mismos pasos que en el caso I. Sabemos que la ecuación de dicha recta es de la forma $y=mx+k$, y como la pendiente de dicha recta es $m=-2$, nos queda $y=-2x+k$. Para determinar el valor de la ordenada en el origen, $k$, debemos tener en cuenta que el valor de dicha función lineal afín en $x=a=5/2$ ha de coincidir con el valor de la función $f(x)$ en $x=a=5/2$. Es decir, $$-2\cdot \dfrac{5}{2}+k=f(5/2)$$ y como $f(5/2)=-(5/2)^2+3\cdot (5/2)=5/4$, tenemos que $$-2\cdot (5/2)+k=5/4 \Leftrightarrow k=25/4$$ Así que
$$\text{r.t.}_2:y=-2x+\dfrac{25}{4}$$
$\square$