El tiempo, en minutos, que los empleados de unos grandes almacenes tardan en (...)

ENUNCIADO. El tiempo, en minutos, que los empleados de unos grandes almacenes tardan en llegar a su casa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica/estándar $\sigma=5$ minutos. Se pide:

a) Se toma una muestra aleatoria simple de $64$ empleados y su media muestral resulta ser $\bar{x}=30$ minutos. Determínese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$

b) ¿ Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para $\mu$, al $99\,\%$, tenga una amplitud a lo sumo de $1$ minuto ?

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "tiempo en llegar a casa". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,5)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=30$ minutos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=1'96$

Así, $E=1'96 \cdot \dfrac{5}{\sqrt{64}}=1'225$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(30-1'225\,,\,30+1'225)$ esto es $(28'775\,,\,31'225)$, intervalo que, en buena lógica, podemos aproximar a $(28\;,\;32)$ minutos.

b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$, es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$. Y la amplitud de dicho intervalo viene dada por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Como, en este caso, $\sigma=5$ minutos, y $E \le 1$ minuto, entonces $z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{5}{\sqrt{n}} \le 1$

Por otra parte, si $1-\alpha=0'99$, entonces $\alpha=0'01$, luego $\displaystyle P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-z_{\alpha/2}$. En nuestro caso, $P\{Z \le z_{0'01/2}\}=1-0'005=0'995$, por lo que, consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, encontramos $z_{\alpha/2}=z_{0'01/2} \overset{\text{tablas}}{\approx} 2'58$

Podemos escribir ahora que $2'58\cdot \dfrac{5}{\sqrt{n}} \le 1$, así que elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad resulta $n \ge \big( \dfrac{2'58 \cdot 5)}{1}\big)^2 \approx 167$ ( aproximando por exceso ), luego el tamaño mínimo de la muestra es $n_{\text{mín}} = 167$

$\square$