Para efectuar un diagnóstico (...)

ENUNCIADO. Para efectuar cierto diagnóstico, un hospital dispone de dos escáneres, a los que denotamos por $A$ y $B$. El $65\,\%$ de las pruebas de diagnóstico que se llevan a cabo en ese hospital se realizan usando el escáner $A$, el resto con el escáner $B$. Se sabe además que el diagnóstico efectuado usando el escáner $A$ es erróneo en un $5\,\%$ de los casos, mientras que el diagnóstico efectuado usando el escáner $B$ es erróneo en un $8\,\%$ de los casos. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El diagnóstico correspondiente a una prueba ( elegida al azar ) efectuada a un paciente en ese hospital sea erróneo
b) El diagnóstico se haya efectuado usando el escáner $A$, sabiendo que ha sido erróneo.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $E$ al suceso aleatorio "realizar una prueba errónea"; y, por $A$ y $B$, a los sucesos aleatorios "hacer una prueba con el escáner $A$" y "hacer una prueba con el escáner $B$", respectivamente. Entonces, $$E=(E \cap A)\cup (E \cap B)$$ y como los sucesos $E \cap A$ y $E \cap B$ son incompatibles ( su intersección es vacía ), podemos escribir $$P(E)=P(E \cap A)+P(E \cap B)$$ Ahora bien, por la definición de probabilidad de sucesos condicionados, $P(E \cap A)=P(E|A)P(A)$ y $P(E \cap B)=P(E|B)P(B)$ luego $$P(E)=P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B) \quad \text{(teorema de la Probabilidad Total)}$$ Poniendo pues los datos, llegamos a $$P(E)=0,65\cdot 0,05 + 0,35\cdot 0,08=0,0605$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(A|E)=\dfrac{P(E|A)P(A)}{P(E)}$$ y con los datos de que disponemos, $$P(A|E)=\dfrac{0,65\cdot 0,05}{0,0605}\approx 0,2893$$
$\square$