Analizar la función ...

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-x+b}{x-2}&\text{si}& x\le -1 \\ \\ \dfrac{x^2+6x+5}{x^2+4x+3}&\text{si}& x \succ -1 \end{matrix}\right.$$
a) Determínese para qué valores del parámetro $b$ la función $f(x)$ es continua en $x=-1$
b) Calcúlense las asíntotas de $f(x)$

SOLUCIÓN.
a)
Para que la función sea continua en $x=-1$ debe existir el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)$ y, para ello, han de existir los límites laterales y tener el mismo valor. Veamos cuáles son los límites laterales:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=\dfrac{1+b}{3}$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)\overset{\text{ind.}}{=}\dfrac{0}{0}\overset{\text{factorizando}}{=}\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{x+5}{x+3}=2$$ Imponiendo la igualdad de dichos límites laterales $$\dfrac{1+n}{3}=2 \Leftrightarrow b=5$$ Así, para $b=5$, $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x) = f(-1)=2$$ y la función es continua en $x=-1$

b)
En el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes de acuerdo con el primer tramo de función no hay ninguna asíntota vertical, ya que el denominador se anula para $x=2 \succ -1$; tampoco hay asíntontas verticales para el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes con el segundo tramo, pues el denominador se anula para $x=-3 \prec -1$. Por consiguiente, la función $f(x)$ no tiene asíntotas verticales.

Veamos ahora si tiene asíntotas oblicuas ( incluyendo las horizontales ): $y=m\,x+k$. Para el primer tramo, $$m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x\,(x-2)}=0$$ luego al tener pendiente nula, sólo tiene una asíntota horizontal; calculemos ahora el valor de la ordenada en el origen $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}-0\cdot x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}=1$$ por consiguiente encontramos la siguiente asíntota horizontal: $\text{a.h.}:y=1$. Si procedemos de la misma forma con el segundo tramo de la función, encontramos el mismo resultado. $\square$