Un ejercicio de derivación e integración

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3+8$. Se pide:
a) Determínese el área de la región acotada delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=-3$ y $x=-1$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=1$

SOLUCIÓN.
a)
El área pedida es igual $\displaystyle \left|\int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx \right|$. Calculando la integral indefinida ( primer teorema fundamental del cálculo ): $\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx$, vemos que una función primitiva de la función del integrando es $\dfrac{1}{4}\,x^4+8,x$, luego por la regla de Barrow ( segundo teorema fundamental del cálculo ), $$\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx=$$ $$=\left[ \dfrac{1}{4}\,x^4+8,x \right]_{-3}^{-1}=\left( \dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4+8\cdot (-1)\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-3)^4+8\cdot (-3)\right)=-4$$ y sacando el valor absoluto obtenemos que el área pedida es igual a $4$ unidades arbitrarias de área.

b)
La ecuación de la recta tangente en el punto $P$ de abscisa $x=1$ viene dada por $\text{r.t.}_{P}:y=m\,x+k$.

i) Calculamos, primero, la pendiente de la recta en el punto pedido: $$m\overset{\text{def}}{=}f'(x_P)=f'(1)=\left(3\,x^2\right)_{x=1}=3$$

ii) Calculamos ahora el valor de la ordenada en el origen, $k$, de la recta tangente. Como la ordenada de la recta en el punto de tangencia es igual al valor de función en dicho punto podemos escribir que $3\cdot 1+k=f(1)$, esto es, $3+k=1^3+8$ y por tanto $3+k=9$, con lo cual $k=6$.

Así, la ecuación pedida es $\text{r.t.}_{P}:y=3\,x+6$

$\square$