Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Considérense las matrices
$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}$   $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$   $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
a) Calcular el producto de matrices   $A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}$
b) Calcular la matriz $M=A\,B$. ¿ Existe $M^{-1}$

SOLUCIÓN.
a)
$A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}=((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1} \quad \quad (1)$ ( por la propiedad asociativa del producto de matrices )
Entonces,
$A\,C=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix}$
Teniendo en cuenta que la matriz traspuesta de $C$ es $C^{\top}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, tenemos que $(A\,C)\,C^{\top}=\begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix}$

Procedemos ahora a calcular la matriz inversa de $A$; para ello se aconseja emplear el método de Gauss-Jordan ( si bien también podemos emplear el método de la matriz adjunta ). Recordemos que el método de Gauss-Jordan consiste en realizar operaciones elementales de reducción al objeto de transformar $(A|I)$ en $(I|A)$. Omitimos los cálculos, pues ya los hemos explicado en muchas ocasiones ( por ejemplo en este otro ejercicio ), y damos directamente el resultado: $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix}$$

Y, finalmente, ya podemos completar el cálculo (1),
$((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix} =$
$$=\begin{pmatrix} 51 & -368/9 & 410/9 \\ 1217/36 & -1007/36 & 1139/36 \\ 281/4 & -231/4 & 259/4 \end{pmatrix}$$

b)
Antes de empezar el cálculo, notemos que el producto de matrices $A_{3\times 3}\,B_{3 \times 2}$, por lo que la matriz que resulta de ello, $M$, ha de ser de tamaño $3 \times 2$. Procedemos al cálculo: $$M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 11 \\ 37 & 26 \\ 33 & 21 \end{pmatrix}$$

En respuesta a la segunda pregunta de este apartado: la matriz $M$ no es cuadrada, luego no está definida la matriz inversa para $M$.

$\square$