Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ x&+&2\,y&+&3\,z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&2\,z&=&0 \end{matrix}\right.$$

a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resuélvase para $a=0$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $(A|b) =\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 1 & a & 2 & 0\\ \end{array}\right)$. Para realizar el estudio de rangos ( y aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius ), procedemos a reducir la matriz por Gauss, puesto que las matrices que así se van obteniendo son equivalentes en rango a la original ( Nota: además, el proceso nos proporciona sistemas de ecuaciones equivalentes en solución al original, lo cual facilitará la resolución del segundo apartado ).

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 1 & a & 2 & 0\\ \end{array}\right) \overset{(-1)\cdot f_1+f_2 \rightarrow f_2; (-1)\cdot f_1+f_3 \rightarrow f_3}{ \sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1\\ 0 & a-2 & 1 & -1\\ \end{array}\right) \sim$
$\overset{\text{intercambiando} f_2 y f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & a-2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & -1\\ \end{array}\right)$ y el sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&(a-2)\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$

Observemos que:
I) Si $a-2=0 \Leftrightarrow a=2$, entonces las dos últimas ecuaciones son incompatibles, luego el sistema es incompatible.
II) Para cualquier otro valor de $a$ ( distinto de $2$ ), se tiene que $\text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3$, luego el sistema es compatible; y, además, determinado, pues el valor de los rangos coincide con el del número de incógnitas.

b)
Si $a=0 \neq 2$ estamos en el segundo caso, con lo cual existe una única solución ( sistema compatible determinado ), que representa un punto en el espacio $\mathbb{R}^3$. Procedemos a resolver el sistema para dicho valor del parámetro $a$:
El sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&-2\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$

Iniciamos el proceso de sustitución retrógrada:
i) De la tercera ecuación, obtenemos $z=-1/2$

ii) Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, podemos escribir $-2y-\dfrac{1}{2}=-1$, y, despejando $y$, se obtiene $y=1/4$

iii) Finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ y para $y$ en la primera ecuación, encontramos $x+2\cdot \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=1$, de donde, despejando $x$, se obtiene $x=1$

Así, pues, la solución viene dada por el punto $(1\,,\,1/4\,,\,-1/2)$
$\square$