Trasladando una bola de una urna a otra ...

ENUNCIADO. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene $5$ bolas: $3$ son rojas y $2$ son blancas. La urna B contiene $6$ bolas: $2$ rojas y $4$ blancas. Se extrae una bola al azar de la urna A y se deposita en la urna B. Seguidamente, se extrae una bola al azar de la urna B. Calcúlese la probabilidad de que:
a) La segunda bola extraída sea roja
b) Las dos bolas extraídas sean blancas

ENUNCIADO.
Denotaremos los sucesos de la siguiente manera:
$B_r$: extraer bola roja de la urna B
$B_b$: extraer bola blanca de la urna B
$A_r$: extraer bola roja de la urna A
$A_b$: extraer bola blanca de la urna A

a)
Teniendo en cuenta que $B_r=(B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$, la probabilidad de $B_r$ es $$P(B_r)=P( (B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$$ y como $(B_r \cap A_b )$ y $( B_r \cap A_r )$ son disjuntos, lo anterior queda $$P(B_r)=P(B_r \cap A_b ) +P( B_r \cap A_r )$$ y por la definición de probabilidad condicionada $$P(B_r)=P(B_r | A_b ) \cdot P(A_b) +P( B_r | A_r ) \cdot P( A_r)$$
poniendo ahora los datos del problema ( aplicamos la regla de Laplace ),
$$P(B_r)=\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{5}$$ y haciendo las operaciones $$P(B_r)=\dfrac{13}{35} \approx 37\,\%$$

b)
Por la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir la probabilidad pedida de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=P(B_b | A_b)\cdot P(A_b)$$
y teniendo en cuenta que $P(B_b|A_b)=1-P(\bar{B_b}|A_b)=1-P(B_r|A_b)$ lo anterior se escribe de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=(1-P(B_r|A_b))\cdot P(A_b)$$ y poniendo los datos $$P(B_b \cap A_b)=(1-\dfrac{2}{7})\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{7}\approx 29\,\%$$
$\square$