Intervalos de confianza

ENUNCIADO. La producción diaria de leche, medida en litros, de una cierta granja de ganado vacuno se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación estándar $\sigma=50$ litros.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el intervalo de confianza par $\mu$ al $95\,\%$ tenga una amplitud a lo sumo de $10$ litros
b) Se toman datos de producción de $25$ días, escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $940$ litros si sabemos que $\mu=950$ litros.

SOLUCIÓN.
a)
Sea $X \sim N(\mu,50)$. La amplitud del intervalo de confianza es el máximo error que se comete en la estimación de $\mu$ y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Entonces, según la información del enunciado, $E \ge 10$, por tanto $$z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge 10$$

Teniendo en cuenta que el nivel de confianza de la estimación es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$, luego $\alpha/2=0,025$; y como $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0.025=0,975$, consultando en las tablas de la función de distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos que la abscisa $z_{\alpha/2}$ es igual a $1,96$. Así, $$1,96\cdot \dfrac{50}{\sqrt{n}} \ge 10$$ con lo cual $$n \ge \left(\dfrac{1,96 \cdot 50}{10}\right)^2$$ y simplificando encontramos que $$n \ge 96,04 \approx 97 \; \; \text{(aproximando por exceso)}$$

b)
A partir de los datos $\mu=950$ gramos, $\sigma=50$ gramos y $n=25$, debemos calcular $$P\{\bar{X} \le 940\}$$ Por el teorema Central del Límite, sabemos que $\bar{X}$ sigue una distribución $N(950,\dfrac{50}{\sqrt{25}})$, luego tipificando la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{\bar{X}-\mu}}{\sigma/\sqrt{n}}$ podemos escribir
$P\{\bar{X} \le 940\}=P\{Z \le \dfrac{940-950}{50/\sqrt{25}}==P\{Z \le -1\}=$
$=P\{Z \ge 1\}$, por la simetría de la función de densidad con respecto al eje de ordenadas
$=1-P\{Z\le 1\}$, por la propiedad del contrario
$=1-F(1)$
$=1-0{,}8413$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$, siendo $Z:N(0\,,\,1)$
$=0{,}1587 \approx 16\,\%$

$\square$