Cálculos con intervalos de confianza

ENUNCIADO. La masa por unidad, en gramos, de la gamba roja de Palamòs, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=5$ gramos.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $25$ gambas y la media de sus masas ha sido $\bar{x}=70$ gramos. Calcúlese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$
b) Sabiendo que $\mu=70$ gramos, y considerando las masas de las $12$ gambas de una caja como muestra aleatoria simple, calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $12$ gambas sea mayor o igual que $855$ gramos.

ENUNCIADO.
a)
Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,5)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=70$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0{,}95$, $\alpha=0{,}05$ y por tanto $\alpha/2=0{,}025$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0{,}025=0{,}975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Así, $E=1{,}96 \cdot \dfrac{5}{\sqrt{25}}=1{,}96$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(70-1{,}96\,,\,70+1{,}96)$ esto es $(80{,}04\,,\,71{,}96)$ que podemos aproximar a $(80\,,\,72)$ gramos.

b)
Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=12$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 855\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-12\cdot 70}{5\,\sqrt{12}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 855\}=P\{Z \ge \dfrac{855-840}{5\,\sqrt{12}}\}=P\{Z \ge 0{,}8660\}=$
$=1-P\{Z\le 0{,}8660\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0,86)=0,0951$ y $F(0,87)=0,8078$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0,86\,,\,0,87)$ para calcular el valor aproximado de $F(0,8660)$; así, $$F(0,8660) \approx (0,8078-0,8051)\cdot \dfrac{0,8660-0,87}{0,87-0,86}+0,8078=0,8067$$
por consiguiente, el resultado de (1), aproximado con cuatro dígitos significativos, es $1-0,8067=0,1933 \approx 19\,\%$
$\square$