Cálculo de probabilidades con sucesos condicionados

ENUNCIADO. Una conocida orquesta sinfónica está compuesta por un $55\,\%$ de varones y un $45\,\%$ de mujeres. En la orquesta un $30\,\%$ de los instrumentos son de cuerda. Un $25\,\%$ de las mujeres de la orquesta interpreta un instrumento de cuerda. Calcúlese la probabilidad de que un intérprete de dicha orquesta elegido al azar:
a) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda
b) Sea intérprete de un instrumento de cuerda y sea varón

SOLUCIÓN.
Denotemos por $V$ al suceso "elegir un intérprete que sea varón"; por $M$ al suceso "elegir un intérprete que sea mujer", y por $C$ al suceso "elegir un intérprete de cuerda".

a)

Como $M \cap C = C \cap M$, podemos escribir $P(M \cap C)=P( C \cap M)$, y, por la definición de probabilidad condicionada, $$P(M|C)\,P(C)=P(C|M)\,P(M)$$ con lo cual $$P(M|C)=\dfrac{P(C|M)\,P(M)}{P(C)}$$ poniendo los datos: $$P(M|C)=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}45}{0{,}3}=0{,}375$$

b)

$P(C \cap V)=P(V \cap C)\overset{\text{p. cond.}}{=}(P(V|C)\,P(C)\overset{\text{prop. del contrario}}{=}(1-P(\bar{V}|C))\,P(C)=$

$=(1-P(M|C))\,P(C)=(1-0{,}375)\cdot 0{,}3 = 0{,}1875$

$\square$