Integrar y derivar ...

ENUNCIADO. Conocida la derivada de una función real de variable real es $$f'(x)=6\,x^2+4\,x-2$$ se pide:
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(0)=5$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ así como sus máximos y mínimos locales, si los tuviese.

SOLUCIÓN.
a)
La función $f(x)$, en las condiciones del enunciado, viene dada por una primitiva de la función $f'(x)$. Calculando pues la integral indefinida de $f'(x)$, $$\displaystyle \int\,(6\,x^2+4x-2)\,dx=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+C$$ Imponiendo ahora que $f(0)=5$, determinaremos el valor de la constante de integración $$5=2\cdot 0^3+2\cdot 0^2-2\cdot 0+C \Leftrightarrow C=5$$ por consiguiente la función pedida es $$f(x)=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+5$$

b)
Veamos cuáles son los extremos relativos. La condición necesaria de existencia de los mismos es $f')0)=0$, por tanto $6\,x^2+4\,x-2=0$, esto es $$3\,x^2+2\,x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot 3}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{3} \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$

Para averiguar qué tipo de extremos relativos son, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada $f''(x)=12\,x+4$. Como $f''(-1)=-8 \prec 0$, $x_{1}^{*}=-1$ corresponde a la abscisa de un máximo local; y, al ser $f''(1/3)=8 \succ 0$, $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{3}$ es la abscisa de un mínimo local. El valor de función para $x_{1}^{*}=-1$ es $f(-1)=7$, luego las coordenadas del máximo local son $Máx(-1\,,\,7)$; y, el valor de función para $x_{2}^{*}=1/3$ es $f(1/3)=\dfrac{125}{27}$, luego las coordenadas del mínimo local son $Mín(1/3\,,\,125/27)$

A partir de las abscisas del mínimo y del máximo local, deducimos que hay dos intervalos de crecimiento: $(-\infty\,,\,-1)$ y $(1/3\,,\,+\infty)$, y un sólo intervalo de decrecimiento: $(-1\,,\,1/3)$
$\square$